Рівняння, що приводяться до однорідних рівнянь

Однорідні рівняння

Означення. Рівняння виду y′=f () називається однорідним рівнянням.

Теорема. Нехай функція f(u) неперервна на [a;b] і для кожного u з [a;b] f(u)- u≠0. Тоді задача Коші для рівняння y′=f () має єдине рішення на області

Доведення. Розглянемо заміну u = , y=ux тоді y′=u′x+u і підставляючи у рівняння отримаємо рівняння відносно u=u(x) u′x+u=f (u), або u′x=f (u)-u.

Згідно з попередньою теоремою рівняння u′x=f (u)-u має єдине рішення, що і доводить теорему.

Приклад. Розв’язати xy′=y+xtg().

Розв’язок. Оскільки y′=() +tg(), то роблячи заміну =u; y=ux; y′=u′x+u, отримаємо u′x+u=u+tgu або = Інтегруючи рівність маємо ln|sin u|= ln|x|+ln c, c>0, sin u=cx, c 0, або sin =cx, c 0. Оскільки, якщо tgu=0, то u=k , або у=k х – є розвязок рівняння, то він попадає у загальне рішення sin =cx, якщо с=0. Отже загальне рішення рівняння sin =cx, .

Означення. Рівняння виду y′=f називають рівнянням, що приводиться до однорідного рівняння.

Розглянемо систему у якої (у противному випадку чисельник та знаменник пропорційні і після скорочення отримаємо рівняння, що приводиться до рівняння з розділеними змінними). Нехай (хо,уо) розв’язок системи. Розглянемо заміну x=X+ xo, y=Y+yo, тоді і підставляючи у рівняння отримаємо =f , або = f - однорідне рівняння відносно змінних Х і У.

Приклад. Розв’язати y′=

Розглянемо систему , вона має розвязок x=-3, y=1, тоді X=x+3, Y= y-1 і

Y′= - однорідне рівняння.

Дата добавления: 2017-01-13