Особливі точки. Особливі рішення

Лекція №4.Особливі точки. Особливі рішення. Рівняння Клеро

Задачі для самостійної роботи.

Задачі.

Практичне заняття №3.Лінійні рівняння першого порядку. Рівняння Бернуллі

Необхідні відомості: 1. Означення лінійного рівняння.

2. Метод невизначених коефіцієнтів.

3. Рівняння Бернуллі.

4. Рівняння в повних диференціалах. Інтегруючий множник.

1. y′ + 2xy=x

2. y′=

3. Точка масою, рівної m, рухається прямолінійно; на неї діє сила, пропорційна часу (коефіцієнт пропорційності дорівнює k ), що пройшов від моменту, коли швидкість рівнялася нулю. Крім того, на точку діє сила опору середовища, пропорційне швидкості (коефіцієнт пропорційності дорівнює k). Знайти залежність від часу.

4. Знайти лінію, у якої початкова ордината будь-якої дотичної на дві одиниці масштабу менше абсциси точки торкання.

5.

6.

7.

8.

Знайти загальні рішення рівнянь.

1. 2ydx+(y - 6x)dy=0

2. (1+x ) y′ - 2xy= (1+x )

3. y′+y=cos x

4. 2ydx+ (y - 6x) dy=0

5. y′=

6. x(y′ - y)=(1+x²)

Знайти приватні рішення диференціальних рівнянь, що задовольняють даним початковим умовам.

7. y′ - ytg x=sec x; y| =0

8. xy′ - =x; y| =0

9. t (1+t²) dx=(x+xt² - t²) dt; x|

10. xy′+y =0;

11. Знайти лінію, у якої площа прямокутника, побудованого на абсцисі будь-якої точки й початковій ординаті дотичної в цій точці, є величина постійна (= ).

12. Знайти лінію, для якої площа трикутника, утвореного віссю абсцис, дотичної й радіус-вектором точки торкання, постійна (= ).

13.

14.

15.

16.

17.

18.

19.

20.

21.

22.

23.

24.

25.

Означення. Точка називається особливою точкою для даного диференціального рівняння, якщо, або не існує рішення, що проходить через дану точку, або через дану точку проходить кілька рішень.

Точка може бути особливою для рівняння y′=f (х, у) якщо у цієї точки не виконуються умови теореми існування та єдиності рішення. Наприклад f (х, у) у точці терпе розрив.

Дата добавления: 2017-01-13