Лінійні та однорідні рівняння n-го порядку

Лекція №6. Лінійні рівняння n-го порядку. Системи лінійно незалежних функцій

Задачі для самостійної роботи.

Задачі.

Практичне заняття №5. Рівняння п-го порядка. Способи зниження порядка

Необхідні відомості: 1. Означення рівняння п -го порядка та його розв’язку. Задача Коші.

2. Методи зниження порядка.

Знизити порядок та розв’язати рівняння.

1.

2.

3.

4.

Розв’язати рівняння за допомогою відповідної не стандартної заміни.

5.

6.

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10. ,

11.

12.

13.

Означення. Рівняння виду a (x)y + a (x)y +…+a (x)y=f(x) називається лінійним рівнянням n-го порядку.

Якщо f(x)=0, то говорять, що рівняння є лінійне однорідне рівняння n-го порядку

.

Однорідні лінійні рівняння будемо записувати у вигляді (котрий легко отримати з вихідного рівняння після ділення його на )

y +p (x) y +…+p (x)y=0.

Теорема. Нехай функції p (x) визначені та неперервні на [a;b], тоді, для лінійного однорідного рівняння, довільна задача Коші на області [a;b] має єдине рішення.

Доведення. Відповідна функція, що фігурує у теоремі існування та єдиності розв’язку рівняння n-го порядку, має вигляд:

F(x, y, y′,…y )=-p (x) y -…-p (x)y. З умови теореми вона неперервна і = p (x) обмежені, оскільки неперервні на [a; b], що гарантує виконання умови Ліпшица для F. Отже ствердження теореми випливає з теореми існування та єдиності для загальних рівнянь n-го порядка.

Розглянемо властивості рішень лінійних однорідних рівнянь. Для скорочення запису введемо позначення Ly = y +p (x) y +…+p (x)y, де L – лінійний оператор, що випливає з властивостей похідної, тоді однорідне лінійне рівняння має вигляд Ly=0.

Теорема. Нехай y і y – довільні рішення однорідного лінійного рівняння, тоді:

1) для кожного с є R¹, сy – рішення однорідного лінійного рівняння,

2) y + y є рішенням лінійного однорідного рівняння.

Доведення. Доведення випливає з властивостей лінійного оператора, тобто L (сy ) =сLy =0, L (y +y ) = Ly +Ly =0.

Наслідок. Нехай y ,…,y –довільні рішення лінійного однорідного рівняння, тоді їхня лінійна комбінація α …α є рішенням лінійного однорідного рівняння.

Дата добавления: 2017-01-13