Неоднорідні гіперболічні рівняння на прямій і піввісі

Лекція №13. Неоднорідні гіперболічні, рівняння на прямій і піввісі. Метод Фур’є розділення змінних

Задачі для самостійної роботи.

Задачі.

Практичне заняття №9. Типи рівнянь другого порядку у частинних похідних. Рівняння коливання струни. Формула Даламбера

Необхідні відомості: 1. Означення рівняння другого порядку у частинних похідних. Типи рівнянь.

2. Формула Даламбера.

Привести до канонічного виду

1.1

1.2 . Спростити рівняння з постійними коефіцієнтами.

2.1 Знайти розв’язок

2.2 Знайти форму струни, визначеною рівнянням у момент , якщо

2.3 Знайти форму струни, визначеною рівнянням ,

якщо ,

у момент

2.4 Знайти відхилення точки х =1 струни () у довільний момент часу від положення спокою, якщо у момент струна знаходилась у спокої, а точка х =0 рухається за законом .

Привести до канонічного виду

1. . 2. . 3. .

4. .

5. .

Знайти розв’язок

6. .

7. .

8. Знайти форму струни, визначеною рівнянням .

9. Розв’язати задачу 2.4 при умові .

10. Розв’язати рівняння

.

11. Розв’язати рівняння

.

12. Розв’язати рівняння

.

13. Розв’язати рівняння

.

Розглянемо задачу Коши

.

Використовуючи формулу Даламбера (дивіться докладно[5]), нескладно отримати розв’язок неоднорідного рівняння, що задовольняє нульовим початковим умовам, у вигляді:

.

Тоді розв’язок вихідної задачі має вид:

.

У випадку задачі

,

враховуючи все вищевказане, отримаємо

Із отриманих формул випливає існування і однозначність розв’язку задач.

Дата добавления: 2017-01-13