КАТЕГОРИИ: Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748) |
Постановка крайової задачі
Лекція №11. Рівняння гіперболічного типу. Постановка крайової задачі. Теорема єдиності розв’язку Рівняння коливання струни, стержня, мембрани, а також гідродинаміки і акустики, в загальному вигляді має вид . Як і в випадку звичайних рівнянь, воно має безкінечне число розв’язків. Тому, у випадку реального фізичного процесу, для єдиності розв’язку, що характеризує процес, необхідні додаткові умови. Ці умови складаються з граничних і початкових умов. Розглянемо ситуацію на прикладі коливання струни. Так процес коливання струни залежить від її початкової форми і розподілу швидкостей, тобто початкові умови слід задавати у вигляді: Що до граничних умов, то можна говорити про три основні типи: 1. гранична умова першого роду (задано режим); 2. гранична умова другого роду (задано силу); 3. гранична умова третього роду (пружне закріплення). Аналогічно задається гранична умова і на другому кінці . Комбінуючи різні граничні умови ми отримаємо 6 типів крайових задач. Сформулюємо першу крайову задачу для гіперболічних рівнянь:
Знайти , визначену в області , , що задовольняє рівняння для , ; граничним умовам:
; і початковим умовам: , . Якщо на обох кінцях береться гранична умова другого або третього роду, то відповідна задача називається другою або третьою крайовою задачею. У випадку коли граничні умови при х=0 і х= мають різні типи, крайова задача називається мішаною. При умові, що вплив граничних умов в точці , розміщеної достатньо далеко від кінців, буде мати місце через великий проміжок часу, а ми розглядаємо явище в продовж малого проміжку, то задачу можна розглядати як граничну задачу лише з початковими умовами.
Знайти розв’язок рівняння з початковими умовами . Цю задачу називають задачею Коши. Якщо явище розглядається поблизу однієї границі і вплив граничної умови на другій границі не сутьтево то ми приходимо до задачі на напівпрямій , коли треба знайти розв’язок рівняння задовольняючого умовам . Нарешті, коли характер явища, для моментів часу, достатньо віддалених від початкового моменту , визначається граничними умовами, (так як вплив начальних умов, завдяки тертю, слабшає) то такі ситуації приводять до задачі без початкових умов, тобто: знайти розв’язок для і при граничних умовах . 2. Теорема єдиності розв’язку. При розв’язанні крайових задач: 1. треба переконатись в єдиності розв’язання – це досягається доведенням теореми єдиності; 2. треба переконатись в існуванні розв’язку, що зазвичай зв’язано з методом знаходження розв’язків. Розглянемо теорему єдиності. Теорема. Можливе існування тільки однієї функції визначеної на області , що задовільняє рівнянню , початковим і граничним умовам , якщо виконуються наступні умови: 1. функція та похідні, що входять в рівняння, а також похідна неперервні на проміжку при ; 2. і - неперервні на проміжку . Доведення. Припустимо що існує два розв’язка і , тоді задовольняє однорідному рівнянню , однорідним умовам та умовоі 1 теореми. Покажемо, що . Розглянемо функцію (повна енергія струни в момент часу t). Інтегруючи частинами перший доданок правої частини, отримаємо . Враховуючи граничні і початкові умови на отримаємо (оскільки задовольняє однорідному рівнянню), тобто . Враховуючи початкові умови отримаємо , так як . Користуючись додатністю і заключаємо що і звідки і витікає тотожність , але , тобто . Таким чином . Зауваження. Доведення теореми єдиності другої і третьої крайових задач практично не відрізняється від приведеного, що стосується теореми єдиності для задачі Коши і задач без початкових умов то доведення їх можна знайти к книзі [5].
Дата добавления: 2017-01-13; Просмотров: 383; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы! Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет |