Уравнение Слуцкого с учетом начального запаса

Теорема

Пусть u() – непрерывная функция полезности, представляющая строго выпуклые, локально ненасыщаемые предпочтения потребителя, определенные на множестве Х=₊^N Если D(p,I) и H(p,u) – дифференцируемые функции маршалловского и компенсированного спроса, то для всех p̅>>0 и I̅>0 имеет место уравнение Слуцкого.

Разграничение влияния на спрос эффектов замещения и дохода имеет специфику в тех случаях, когда доход потребителя (или его часть) представлен в натуральной форме. Предположим, что сельская жительница Матрена Акакиевна содержит в личном хозяйстве кур. Ее доход представлен в виде начального запаса, состоящего из определенного количества курятины (X) и куриных яиц (Y). Она является также потребителем этих двух благ.

Потребность Матрены Акакиевны в курином мясе только частично удовлетворяется за счет собственного производства. Она предпочитает продать больше куриных яиц и докупить курятину для собственного потребления. Это означает, что валовой спрос на курятину (объем ее потребления) больше начального запаса и Матрена Акакиевна является чистым покупателем данного блага. В то же время валовой спрос Матрены Акакиевны на куриные яйца меньше начального запаса, и, следовательно, она является чистым продавцом яиц.

Допустим теперь, что цены на куриное мясо снизились. Какое влияние окажет это на валовой спрос Матрены Акакиевны? Вероятно, ей станет выгодно заменить некоторую часть потребления относительно подорожавших яиц подешевевшей курятиной. Здесь действует традиционный эффект замещения. А вот эффект дохода имеет специфику. С одной стороны, чтобы сохранить объем потребления курятины на прежнем уровне, необходимо затратить меньшую часть дохода. Как потребитель Матрена Акакиевна становится богаче, и если куриное мясо — нормальное благо, увеличит спрос на этот продукт. В этом механизме действия эффекта дохода также нет ничего специфического. Однако, с другой стороны, как производитель курятины Матрена Акакиевна становится беднее при снижении цен на нее. Рыночная стоимость ее начального запаса, т.е. денежный эквивалент ее дохода, стала ниже. И по нормальным товарам такое явление должно сопровождаться снижением спроса.

Мы видим, таким образом, что налицо два противоположно направленных эффекта дохода. Один из них, традиционный эффект дохода, связан с положением индивида как потребителя. При повышении цен потребитель становится беднее, при их снижении — богаче. Нетрадиционный эффект дохода, связан с положением индивида как производителя (обладателя) начального запаса. При повышении цен производитель становится богаче, при их снижении — беднее. Этот вид эффекта дохода называют обычно эффектом начального запаса. Наличие эффекта начального запаса усложняет понимание экономической классификации благ. Например, если с повышением цены потребление блага увеличивается, это еще не дает оснований относить его к товарам Гиффена. Не исключено, что речь идет о нормальном благе, но эффект начального запаса так велик, что перевешивает и эффект замещения, и эффект дохода. Повышение цен на куриные яйца в нашем примере может так обогатить торгующую ими Матрену Акакиевну, что она позволит себе увеличить потребление и курятины, и куриных яиц.

Если небольшое повышение цены, скажем, на 1 руб. увеличивает доход (стоимость начального запаса) на 100 руб. небольшое увеличение дохода, например, на 1 руб. увеличивает количество спроса на 10 ед.

Куриное мясо и яйца вполне могут быть для Матрены Акакиевны совершенными комплементами (если она потребляет их вместе в фиксированной пропорции), но при этом, в результате действия эффекта начального запаса, будет наблюдаться прямая зависимость между ценой яиц и спросом на курятину, что, с экономической точки зрения, дает основание для отнесения рассматриваемой пары благ к разряду общих субститутов.

Т.о. выведенное нами ранее уравнение применимо в тех случаях, когда доход потребителя фиксирован (не зависит от цен). Если доход потребителя состоит не только из экзогенно заданной денежной суммы, а потребитель владеет и неким запасом товаров, то изменение цен будет влиять и на стоимость этого набора.

Обозначим натуральный доход (вектор первоначального запаса) потребителя через ω = (ω1, ω2,… ω_N). Тогда задача потребителя имеет вид:

max u(x)

px ≤ p ω

Пусть u() – непрерывная функция полезности, представляющая строго выпуклые локально ненасыщаемые предпочтения потребителя, определенные на множестве X=R₊^N. Если x(p, ωp) – функция спроса при наличии натурального дохода, x(p, I) – функция маршалловского спроса при фиксированном доходе и Н (p, u) - функция компенсированного спроса, то при условии дифференцируемости этих функций для всех p̅ >> имеет место обобщенное уравнение Слуцкого:

= + (ωj – xj(p̅,p̅ω) )

Элементами s_ij матрицы Слуцкого или матрицы коэффициентов замещения являются эффекты замещения для спроса на i-тый товар при изменении цены на j-тый, т.е. S_ij = С учетом уравнения Слуцкого каждый элемент матрицы может быть выражен через маршалловский спрос:

S_ij = + xj(p,I)

Свойства матрицы замещения Слуцкого:

Пусть u() – непрерывная функция полезности, представляющая строго выпуклые локально ненасыщаемые предпочтения потребителя, определенные на множестве X=R₊^N. Пусть функция расходов Е(p,u) дважды непрерывно дифференцируема, тогда матрица замещения Слуцкого S(p,I) удовлетворяет следующим условиям:

Симметричная матрица

Отрицательно полуопределенная

S(p,I)p = 0

Дата добавления: 2017-01-13