Метод обратной функции

Имитация непрерывных случайных величин

Имитация событий, составляющих полную группу

Пусть событие А_i (i=1,n) составляют полную группу, тогда их вероятности Р_i, таковы что:

Имитация факта появления одного из событий А_i (i=1,n) сводится к проверке следующих неравенств:

Выполнение К-го неравенства эквивалентно выполнению события А_К. Описанный алгоритм называют иногда алгоритмом “розыгрыша по жребию”. Его можно интерпретировать как установление номера К-го отрезка длинной Р_К, на который пало СЧ х, при условии разбиения отрезка единичной длины на отрезки с длинами P1,P2,...Pn (рис 3.3.)

Рис. 3.3.

Имитационное моделирование явлений и объектов, формальное описание которых возможно с помощью представления их в виде случайных величин (СВ) с заданным законом распределения, основываются на использовании СЧ с равномерным законом распределения и их преобразований. Такие преобразования могут быть осуществлены на основе: метода обратной функции; предельных теорем теории вероятности, приближенных методов и т.п. Для более подробного ознакомления с этими методами можно воспользоваться [20, 25].

Пусть непрерывная случайная величина (СВН) задана своим законом распределения:

где – плотность распределения вероятностей, а - функция распределения вероятностей. Доказано, что случайная величина

распределена равномерно на интервале (0,1).

Отсюда следует, что искомое значение может быть определено из уравнения:

(5)

которое эквивалентно уравнению:

где y – значение случайной величины . Решение уравнения (6) можно записать в общем виде через обратную функцию

Основной недостаток метода заключается в том, что интеграл (5) не всегда является берущимся, а уравнение (6) не всегда решается аналитическими методами.

Пример 1.

Получить в соответствии с методом обратной функции преобразование, позволяющее вычислить значения СВ , распределенной по показательному закону.

Решение. Показательный закон характеризуется функцией плотности:

Воспользуемся методом обратной функции, вычислим интеграл (5) и получим уравнение вида (6)

или Тогда: , прологарифмировав и разрешив уравнение через y, будем иметь:

(7)

Получая значение х с помощью датчика равномерно распределеных случайных чисел на интервале (0,1), можно получить значения y в соответствии с выражением (7). Заметим, что показательный закон распределения особенно часто используется для исследования систем массового обслуживания и определения показателей надежности систем.

Пример 2.

Получить преобразование в соответствии с методом обратной функции СВ , позволяющее вычислить значение СВ , распределенной по закону Вейбулла.

Решение. Плотность распределения такой СВ имеет вид:

- параметры закона распределения, введем обозначение . Нетрудно вывести уравнение вида (6). Для данного распределения оно имеет вид:

Логарифмируя левую и правую его части и выражая y через х, получим:

Распределение Вейбулла имеет место при исследовании отказов элементов оборудования, возникающих в результате износа и старения. Параметр носит название и имеет смысл интенсивности отказов. При a =1 закон Вейбулла совпадает с показательным, при a <1 интенсивность отказов является монотонно убывающей, а при a >1 – монотонно возрастающей функцией.

Метод Неймана (режекции)

Метод Неймана, так же как метод обратной функции, является методом, позволяющим получить значения СВ в соответствии с заданным законом распределения. Этот метод является достаточно универсальным он применим для моделирования всех СВ, значения которых не выходят за пределы ограниченного интервала (a,b), а также для СВ, законы распределения которых можно аппроксимировать усеченными.

Метод Неймана состоит в следующем:

1. С помощью датчика случайных чисел получают пару чисел, распределенных равномерно на (0,1).x1 и x2.

2. Путем преобразований (по методу обратной функции получают два числа , равномерно распределенных соответственно на интервалах (a,b) и (o,w), то есть

2.5

, где

рис 2.5.

3. Из точек с координатами выбирают те, которые попали “под колокол” функции fh (y), то есть те точки, для которых .

4. Если выполнено условие 3., то искомое значение y полагают равным .

Дата добавления: 2017-01-14