Тема 8. Элементы теории игр.

Теория игр — это раздел прикладной математики, в котором рассматривается математический метод изучения оптимальных стратегий поведения двух и более сторон, ведущих борьбу за реализацию своих интересов. Каждая из сторон имеет свою цель и использует некоторую стратегию, которая может вести к выигрышу или проигрышу — в зависимости от поведения других игроков.

Задача

Прибыль, которую предприятие получает при различном объеме выпуска модели и соответствующем состоянии спроса, определяется матрицей:

	В1	В2	В3	В4
А1
А2
А3

Решение

Для определения наиболее выгодных стратегий применяем различные критерии.

Критерий Минимакса и максимина для определения цены.

Определяем стратегию для получения максимальной прибыли при минимальных затратах.

Нижняя цена игры

для игрока А выгодна стратегия А3

Определим стратегию игры для игрока В

,

Нижняя цена игры

для игрока В выгодна стратегия В3.

Критерий Вальда.

=max min =max

По критерию Вальда наиболее выгодна стратегия А3

Критерий Севиджа.

Определяется с помощью матрицы рисков:

Соответствующая матрица рисков будет равна

Выбираем наибольшее значение в строчках.

,

И из результатов минимальное значение

для игрока А выгодны стратегии А2 или А3

Критерий Гурвица

Даны вероятности, с которыми выбирается объем выпуска продукции

	В1	В2	В3	В4
А1
А2
А3

По критерию Гурвица наиболее выгодной является стратегия А2

Критерий Лапласа

По критерию Лапласа наиболее выгодной является стратегия А3

Критерий Байеса

Платежная матрица

, , ,

Матрица рисков

, , ,

И из результатов минимальное значение

для игрока А выгодна стратегии А2

Задача

Пусть обувная фабрика планирует выпуск двух моделей обуви А и Б. Спрос на эти модели не определен, но предполагается, что он может принимать одно из двух состояний Б1 и Б2. В зависимости от этих состояний прибыль предприятия различна и определяется матрицей

А	А11	А12
Б	А21	А22

Найти оптимальное соотношение между объемами каждой из моделей, при котором предприятию гарантируется прибыль при любом состоянии спроса.

Решение

Прибыль, которую предприятие получает при данном объеме выпуска модели и соответствующим состоянием спроса, определяется матрицей:

А
Б

Определяем стратегию для получения максимальной прибыли при минимальных затратах.

а1=мин(50,21)=21

а2=мин(31,64)=31

а =мах (а1, а2)=мах (21,31)=31

в1=мах (50,31)=50

в2=мах (21,64)=64

в= мин(50,64)=50

Так как а≠в, то данная игра без седловой точки, решение игры ищем в смешанных стратегиях.

Так как игра имеет размерность (2×2), то решение игры можно найти одним из трех способов:

1) С помощью системы

2) По формулам

3) Графическим методом.

Найдем решение игры с помощью записи соответствующей системы:

Подставим в систему исходные значения

В полученной системе первое и второе уравнения в правой части имеют одинаковые значения. Если правые части уравнений равны, то равны и левые части, поэтому мы можем приравнять левые части первого и второго уравнения системы.

В первом уравнении перенесем выражения с одинаковыми переменными в разные части

Приведем подобные выражения

Выразим одну переменную через другую

Подставим во второе уравнение

Во втором уравнении приведем подобные выражения в левой части

Выразим переменную из второго уравнения

Подставим полученное выражение в первое уравнение и найдем значение другой переменной

Получили значения вероятностей выпуска модели

Определим соответствующую цену игры, подставив соответствующие вероятности в первое уравнение исходной системы:

ден.ед.

Вероятность того, что выпуск моделей примет значение А, равна 53%, значение Б - 47%

Точно также определим вероятности соответствующего спроса на модели

Найдем решение игры с помощью записи соответствующей системы:

Подставим в систему исходные значения

В полученной системе первое и второе уравнения в правой части имеют одинаковые значения. Если правые части уравнений равны, то равны и левые части, поэтому мы можем приравнять левые части первого и второго уравнения системы.

В первом уравнении перенесем выражения с одинаковыми переменными в разные части

Приведем подобные выражения

Выразим одну переменную через другую

Подставим во второе уравнение

Во втором уравнении приведем подобные выражения в левой части

Выразим переменную из второго уравнения

Подставим полученное выражение в первое уравнение и найдем значение другой переменной

Получили значения вероятностей выпуска модели

Определим соответствующую цену игры, подставив соответствующие вероятности в первое уравнение исходной системы:

ден.ед.

Вероятность того, что спрос на модели примет значение 1, равна 69,35%, значение 2 – 30,65%

, p₂ = 1 – p₁

, q₂ = 1 – q₁

цена игры v* определяется формулой

Задания для самостоятельного решения по теме №8

Задание

Найдите оптимальное решение матричной игры по:

a) критерию Вальда,

b) критерию Севиджа,

c) критерию Гурвица

d) Графическим методом,

e) С помощью расчетных формул

	В1	В2
А1
А2

Р1=0.8, Р2=0.2, Л=0.8

Задание

Найдите оптимальное решение матричной игры по:

a) критерию Вальда,

b) критерию Севиджа,

c) критерию Гурвица

d) Графическим методом,

e) С помощью расчетных формул

	В1	В2
А1
А2

Р1=0.3, Р2=0.7, Л=0.9

Тема 9 Модели управления запасами

Модель управления запасами должна дать ответ на два вопроса: сколько продукции заказывать и когда заказывать.

Модель Уилсона

Математические модели управления запасами (УЗ) позволяют найти оптимальный уровень запасов некоторого товара, минимизирующий суммарные затраты на покупку, оформление и доставку заказа, хранение товара, а также убытки от его дефицита. Модель Уилсона является простейшей моделью УЗ и описывает ситуацию закупки продукции у внешнего поставщика, которая характеризуется следующими допущениями:

интенсивность потребления является априорно известной и постоянной величиной;

заказ доставляется со склада, на котором хранится ранее произведенный товар;

время поставки заказа является известной и постоянной величиной;

каждый заказ поставляется в виде одной партии;

затраты на осуществление заказа не зависят от размера заказа;

затраты на хранение запаса пропорциональны его размеру;

отсутствие запаса (дефицит) является недопустимым.

Входные параметры модели Уилсона

1) – интенсивность (скорость) потребления запаса, [ед.тов./ед.t];

2) s – затраты на хранение запаса,[руб./ед. тов.];

3) K – затраты на осуществление заказа, включающие оформление и доставку заказа, [руб.];

4) – время доставки заказа, [ед.t].

Выходные параметры модели Уилсона

1) Q – размер заказа, [ед.тов.];

2) L – общие затраты на управление запасами в единицу времени, [руб./ед.t];

3) – период поставки, т.е. время между подачами заказа или между поставками, [ед.t];

4) – точка заказа, т.е.размер запаса на складе, при котором надо подавать заказ на доставку очередной партии, [ед.тов.].

Циклы изменения уровня запаса в модели Уилсона графически представлены на рис.11.1. Максимальное количество продукции, которая находится в запасе, совпадает с размером заказа Q.

Риcунок. График циклов изменения запасов в модели Уилсона

Дата добавления: 2017-02-01