Задачи огнестойкости железобетонных конструкций.

Учитывая, что аналитическое решение дифференциального уравнения Фурье связано с громоздкими вычислениями, что невозможно выполнить без ЭВМ, в инженерной практике пользуются упрощенной методикой расчета, разработанной на основе уравнения Фурье с применением экспериментальных данных доктором технических наук, профессором Яковлевым А. И.

Решение уравнения Фурье, полученное А. И. Яковлевым для полуограниченного тела, может быть использовано для определения температуры в плоских конструкциях конечной толщины. Так температура арматуры, расположенной у обогреваемой поверхности плоских сплошных конструкций (плит перекрытий, стеновых панелей), может быть рассчитана по формуле 1.2.

, (1.2)

где t н – начальная температура конструкции до пожара (t н = 20 оС);

К – коэффициент, зависящий от объемной массы (средней плотности) бетона;

Y – расстояние от обогреваемой поверхности конструкции до оси арматурного стержня (несущего), м;

К ₁ – коэффициент, зависящий от объемной массы бетона;

τ – время, с;

d – диаметр арматурного стержня, м;

а _пр– приведенное (с учетом влажности) значение коэффициента температуропроводности бетона, м²/с, определяют по формуле 1.3.

, (1.3)

где t- значение коэффициента теплопроводности бетона при температуре 450 oС, Вт/м^.К;

с _t- значение удельной теплоемкости бетона при температуре 450 оС, Дж/кг^.К;

W_В - начальное влагосодержание бетона, %;

- объемная масса (средняя плотность) бетона, кг/м³.

Если известна величина критической температуры арматуры (t _cr), то предел огнестойкости конструкции можно определить, используя формулу (1.2). Для этого вначале вычисляют величину функции:

, (1.4)

где erf X - функция ошибок Гаусса (Крампа);

X - аргумент функции (1.4), определяют по формуле 1.5.

, (1.5)

Вычисляют время прогрева арматуры до (t _cr), используя формулу (1.5) в виде:

, (1.6)

Это время (τ) и является фактическим пределом огнестойкости (П_ф) строительной конструкции. Решение дифференциального уравнения Фурье, полученное для расчета температур в неограниченной пластине, обогреваемой с двух сторон (симметричная задача), можно использовать для определения температур в плоских конструкциях при двухстороннем обогреве. Это решение имеет вид:

, (1.7)

где температура в расчетной точке по толщине пластины на заданный момент времени (τ), oС;

- относительное расстояние,

где X₁ - расстояние от центра пластины до расчетной точки по толщине пластины, м;

δ - толщина пластины, м;

τ - время, с;

Fo- критерий Фурье, вычисляемый по формуле 1.8.

, (1.8)

где τ - время, с.

Формула (1.7) может применяться без существенной погрешности при (F₀ < 0,32). При больших значениях (F₀) расчетная температура начинает значительно превышать фактическую.

Правая часть выражения (1.7):

, (1.9)

где - относительная избыточная температура.

С учетом выражения (1.9) формулу (1.7) можно записать в виде:

(1.10)

Иногда при расчетах пределов огнестойкости конструкций бывает необходимо вычислить температуру в середине толщины конструкции (плиты, колонны), т. е. при условии (X1 = 0); тогда (ξ = 1), а относительная температура в центре:

, (1.11)

т. е. (θ = f(Fo)). Величину (θ) можно определить по номограмме (рис. 1.2).

Рис. 1.2. Номограмма для определения относительной температуры (θ) в зависимости от критерия Фурье (Fo) и величины (ξ).

1 - Fo= 0,005; 2 - Fo= 0,01; 3 - Fo= 0,02; 4 - Fo= 0,03; 5 - Fo = 0,04;

6 - Fo = 0,06; 7 - Fo = 0,08; 8 - Fo = 0,1; 9 - Fo= 0,15; 10 - Fo= 0,2;

11 - Fo= 0,3; 12 - Fo= 0,4; 13 - Fo= 0,6; 14 - Fo= 0,8; 15 - Fo= 1,0;

16 - Fo= 1,5

При прогреве колонн, балок, элементов ферм и других стержневых конструкций, обогреваемых при пожаре с трех и четырех сторон, имеет место двухмерное температурное поле. Если поперечное сечение конструкции имеет форму прямоугольника или круга, то расчет температур в этих случаях может быть с достаточной точностью произведен при помощи известного в теории теплопроводности соотношения относительных температур:

, (1.12)

где - температура двухмерного поля, oC;

t_xτ и t_yτ - температура одномерных полей, oC;

tв - изменение температуры при стандартном режиме пожара, oC:

tв= 345 lg (0,133τ + 1) + tн, (1.13)

где τ - время, c.

Из соотношения (1.12) находим:

(1.14)

Если необходимо найти температуру в прямоугольном сечении, обогреваемом со всех сторон, следует учесть, что температура его образуется в результате наложения полей при пересечении двух неограниченных пластин толщиной (δxи δy). В этом случае (tx) и (ty) находят по формуле (1.10).

Если необходимо определить температуру в балке или колонне, обогреваемых с трех сторон, значения (tx) находим по формуле (1.7), а (ty) по формуле (1.2).

Для конструкций, работающих на сжатие, введено допущение, что их предельное состояние по огнестойкости наступит тогда, когда размер работоспособного поперечного сечения бетонной части конструкции "ядро" поперечного сечения уменьшится до критической величины. В этом случае появляется необходимость определить толщину слоев бетона, прогретых выше (t bcr). Прочность бетона этих слоев принимают равной нулю, а в "ядре" поперечного сечения - - начальному сопротивлению бетона сжатию (до нагрева). Толщину слоя бетона, прогретого выше (t_bcr), определяют исходя из уравнения (1.2) при:

, (1.15)

где X - аргумент функции Гаусса:

, (1.16)

Его определяют по таблице 4.8 приложения 4 при значении функции:

, (1.17)

где t_bcr- критическая температура бетона oС.

При обогреве конструкции (колонны) с 4-х сторон ширину "ядра" поперечного сечения (b_tx) определяют на заданный момент времени по формуле, полученной из выражения (1.7):

(1.18)

где bx- ширина колонны, м;

ξ x- коэффициент (определяют по номограмме, см. рис. 1.2), зависящий от величины относительной температуры (θx) и критерия Фурье (Fox):

(1.19)

где t_y=0,τ - температура в центре ядра поперечного сечения конструкции через время (τ) от начала обогрева, oC, определяют по формуле (1.10), в виде:

= 1250 - (1250 - tн) θц, (1.20)

где θц- относительная температура в центре поперечного сечения конструкции;

(1.21)

Второй размер "ядра" поперечного сечения (bty) определяют на заданный момент времени по формуле, полученной из уравнения (1.7):

bty= 2 (0,5 by+ K ) (1 – ξy), (1.22)

где ξy- коэффициент, зависящий от величины (θy) и (Foy):

, (1.23)

где t_x=0,τ – температура в центре "ядра" поперечного сечения конструкции через время (τ) обогрева, oC; определяют по формуле (1.10) в виде:

tx=0,τ = 1250 – (1250 – tн) θц, (1.24)

где θц - относительная температура в центре поперечного сечения конструкции:

(1.25)

Если конструкция прямоугольного поперечного сечения обогревается с трех сторон, то толщину слоя бетона, прогретого с одной стороны, определяют по формуле (1.15):

где X - аргумент функции Гаусса, ее определяют по формуле:

(1.26)

Температуру (tx=0,τ) определяют по формуле (1.24). Ширину (btx) "ядра" поперечного сечения на заданный момент времени определяют по формуле (1.18). При этом для определения величины (ξx) по номограмме, параметр (θx) вычисляют по формуле:

(1.27)

В формуле (1.27) величина (ty=h,τ) вычислена из выражения:

(1.28)

Особенности решения статической (прочностной) задачи
огнестойкости для железобетонных конструкций.

Эта часть методики разработана на основе уравнения статики, результатов натурных огневых испытаний строительных конструкций и экспериментальных исследований деформативно - прочностных характеристик бетона и стальной арматуры применительно к нагреву строительных конструкций по стандартному температурному режиму.

Изгибаемые конструкции.

При работе изгибаемых конструкций бетон сжатой зоны поперечного сечения конструкции воспринимает сжимающие усилия, а несущие арматурные стержни в растянутой зоне - растягивающие усилия, соответственно. При этом соблюдается равенство воспринимаемых усилий (равновесие сил: ΣP = 0).

При нагреве конструкции сопротивление арматурной стали растяжению уменьшается. Арматура претерпевает пластические деформации ползучести, что приводит к раскрытию трещин в бетоне растянутой зоны и, соответственно, уменьшению высоты (Xt) сжатой зоны конструкции (при этом вводится допущение, что сопротивление бетона сжатию в этой зоне равно начальному и не меняется при нагреве, а меняется Xt).

Предел огнестойкости статически определимых изгибаемых конструкций наступает в результате прогрева несущей арматуры в растянутой зоне конструкции до критической температуры (tscr) и образования пластического шарнира в середине пролета конструкции, характеризующего утрату ее несущей способности. Поэтому решение статической части задачи огнестойкости сводится к определению величины (tscr).

При этом величину (tscr) определяют по справочным (экспериментальным) данным в зависимости от значения коэффициента изменения прочности стали (γstcr), соответствующего величине (tscr). Величина (γstcr) характеризует момент снижения сопротивления арматурной стали (Rsutcr), нагретой до критической температуры, до величины рабочего напряжения в арматуре (σs) от нормативной нагрузки на конструкцию. Поэтому при критической температуре арматуры справедливо равенство (Rsutcr= σs). Это позволяет в формулу расчета (γstcr) вместо величины (Rstcr) подставлять (σs):

, (1.29)

где Rsu- расчетное сопротивление стали по пределу прочности, Па.

Рассмотрим особенности методики решения статической задачи огнестойкости для плоской изгибаемой конструкции. Ее несущая способность (Мt) в предельном равновесии сил будет равна (рис. 1.3):

Mt= Nbt ^. Zbt= Rbu ^. b ^. xt(ho- 0,5xt), (1.30)

где N_bt-несущая способность бетонной части сжатой зоны поперечного сечения конструкции, Н;

Z_bt-плечо внутренней пары сил от середины сжатой зоны поперечного сечения конструкции до оси растянутой арматуры, м;

b-ширина конструкции (сжатой зоны), м;

X_t-высота сжатой зоны поперечного сечения конструкции, м;

Рис 1.3. Схема распределения усилий в поперечном сечении плоскости конструкции,
работающей на изгиб: а – продольный разрез; в – схема напряжения; б – поперечный разрез;

h₀ рабочая (полезная) высота поперечного сечения конструкции (расстояние от оси растянутой арматуры до верхней границы сжатой зоны поперечного сечения конструкции), м;

Rbu- расчетное сопротивление бетона сжатию, Па:

, (1.31)

где R_bn- нормативное сопротивление (призменная прочность) бетона осевому сжатию, Па;

γ_b - коэффициент надежности по бетону (γ_b = 0.83).

В условиях пожара конструкция разрушится под действием изгибающего момента (Mn) от внешней нормативной (рабочей) нагрузки на конструкцию. Это произойдет при уменьшении ее несущей способности (Mt) до (Mn), т. е. при (Mt= Mn) или (Mt- Mn= 0).

В развернутом виде это запишется:

Rbu ^. b ^. xt(ho- 0,5xt) - Mn= 0, (1.32)

отсюда

(1.33)

Учитывая равенство несущей способности бетона сжатой зоны и растянутой арматуры, в предельном равновесии сил напряжение в арматуре (σs) от внешней нагрузки определят по формуле:

, (1.34)

где As- суммарная площадь поперечного сечения арматурных стержней в растянутой зоне поперечного сечения конструкции, м².

Затем можно вычислить (γ_stcr) по формуле (1.29); (t_scr) и (П_ф) - по формуле (1.6).

Особенностью решения статической части задачи огнестойкостидля многопустотных железобетонных плит и панелей является необходимость приведения формы их поперечного сечения к форме тавра(рис. 1.4). При этом высота сжатой зоны может быть рассчитана), если (Xt<hf, рис. 1.3). В том случае, если (Xt> hf), то формулу для расчета (Xt) получают из равенства (1.30), учитывающего разделение формы сжатой зоны (см. рис. 1.3 внизу) на два прямоугольника.

Несущую способность вычисляют по формуле:

Mt= hf^. (br– Σ bp) ^. Rbu^. (ho- 0,5 hf) + Σ bp^. Xt ^.Rbu^. (ho- 0,5 Xt), (1.35)

Отсюда

(1.36)

Величину (σs) при (Xt< hf) определяют по формуле:

; (1.37)

при Xt> hf

(1.38)

Рис. 1.4. Схема приведения формы поперечного сечения многопустотной плиты к форме тавра: а - исходная форма плиты; б - приведенная форма при (xt< hf,); в - при (xt> hf,)

Далее по формуле (1.29) вычисляют (γ_stcr), находят (t_scr), затем определяют (Пф) по формуле (1.6) и умножают на коэффициент, равный 0.9, учитывающий влияние пустот плиты.

Сжатые конструкции.

Расчет огнестойкости центрально-сжатых конструкций выполняют по изменению несущей способности (Nt, τ) во время нагрева рабочей части поперечного сечения колонны (ядра) и рабочей арматуры. При обогреве с 4-х сторон несущую способность колонны рассчитывают по формуле:

Nt, τ =φt^. (Rbu^. Aя+ Rsu^. As^. γst), (1.39)

где φt- коэффициент продольного изгиба колонны зависит от отношения (lo/bя);

lo- расчетная длина колонны, м;

bя- ширина ядра поперечного сечения колонны, м;

Rbu- расчетное сопротивление бетона сжатию, определяют по формуле (1.31), Па;

Aя - площадь "ядра" поперечного сечения колонны, м²:

Aя= bя ^. hя; (1.40)

hя- высота "ядра" поперечного сечения колонны, м;

Rsu- расчетное сопротивление арматурной стали сжатию, Па, определяют по формуле:

(1.41)

Rsn- нормативное сопротивление арматурной стали сжатию, Па;

γa= 0,9 - коэффициент надежности для арматуры;

As- суммарная площадь поперечного сечения несущих арматурных стержней, м².

Пример решения 1:

Железобетонная плита перекрытия ПК 58.12-8АIV-Т

Расчётные данные:

Размеры плиты 1190 х 5800 х 220 мм;

Толщина защитного слоя 20 мм;

Бетон класса В 30;

Арматура класса А-IV, 7ø12;

Сбор нагрузок на плиту перекрытия

На плиту перекрытия действует собственный вес и полная нагрузка в соответствии с табл. 3 СНиП 2.01.07-85*.

Плотность бетона 2360 кг/м³

Q_в.плит = 1,19 х 5,8 х 0,22 х 9,8 х 2360 = 30759 Н.

Нагрузка от веса плиты составит Q_в.плит/S = 5088 Па

Нормативная постоянная и временная длительно действующая нагрузка с учётом собственного веса лестничного марша составит 5088 + 2000 = 7038 Па.

Изгибающий момент от постоянных и временных нагрузок составит 28,9 кН х м.

Расчёт определения времени потери несущей способности

Температуры нагрева оси растянутой арматуры определяется по рис. 5.10 [32]. При длительности стандартного пожара 60 мин и расстоянии от оси растягиваемой арматуры до нагреваемой грани равной а = 20 + 6 = 26 мм температура нагрева оси составит 370 ⁰С. Определяется коэффициент работы арматуры γ_st = 0.89.

Для расчёта прочности многопустотной плиты сечение плиты приводится к тавровому высотой h = 220 мм, шириной полки b_f = 1190 мм, шириной ребра 195 мм и толщиной сжатой полки 30 мм.

Определяется граница сжатой зоны. Площадь растянутой Аs = 792 мм². Площадь сжатой арматуры Аs = 87.9 мм². Находим левую часть условия.

R_sn = 400 Н/мм².

R_sn х γ_st х Аs = 400 х 0,89 х 792 = 282 кН.

R_bn х b’_f х h’_f + R_sc А’s = 32.5 х 1190 х 30 + 355 х 87,9 = 1192 кН.

Так как 282 кН < 1192 кН, то высота сжатой зоны проходит в полке. Расчет прочности проводится по формулам 5.10 и 5.11 [32], принимая b = bf и h0 = h – a = 220 – 20 – 6 = 194 мм.

Пролётное сечение многопустотной плиты при пожаре длительностью равной 60 мин выдерживает момент

М = 30 х 1190 х 8,8 (194 – 8,8/2) = 59,6 кН х м

Расчётный пролёт плиты принимаем равным 5,8 м. Нормативная нагрузка на 1 м длины плиты q = 7,1 х 1,19 = 8,5 кН/м.

Мn = (8,5 х 5,8²) / 8 = 35.8 кН х м > 59,6 кН х м.

Таким образом, предел огнестойкости по потере несущей способности R60 обеспечен.

Проверка многопустотной плиты в опасном наклоном сечении выполняется по формуле 5.14 [32], в котором усилие N_s в анкерующем стержне.

В этих формулах для арматуры класса А-IV η₁= 2.5 и α = 1.0, так как нет дополнительных анкерующих устройств.

Расстояние от конца анкерующего стержня до рассматриваемого поперечного сечения плиты, принимаемого за длину анкеровки l_s = 15 d_s = 15 х 12 = 180 мм. Длина проекции наклонной трещины с = h₀ = 194 мм.

Периметр поперечного сечения анкерующего стержня u_s = 3.14 х 12 = 38 мм.

Расстояние между хомутами s_w = 100 мм.

Температура арматуры в зоне анкеровки t_s = 0.8 x 370 = 300 ⁰С, по табл. 2.8 [32] определяется коэффициент работы арматуры γ_st = 0.9. Прочность бетона на растяжение в зоне анкеровки определяется по формуле 2.4 [32], в котором коэффициент условия работы бетона на растяжение принимается по табл. 2.2 [32] – γ_tt = 0.47/

R_btnt = 1.35 x 0.47 = 0.63 МПа.

Усилие в анкерующем стержне N = 2.0 x 0.63 x 180 x 38 / 1.0 = 10773 H < 400 x 0.9 x 87.9 = 31644 H.

Момент, воспринимаемый продольной арматурой, пересекающий растянутую зону наклонного сечения, согласно фор-ле 5.14 [32] равен

М = 0,9 х 10773 х 194 + 0,5 х 300 х 0,9 х 87,9 х 194² / 100 = 4,4 кН х м.

Момент, воспринимаемый продольной арматурой, пересекающей наклонное сечение, от нормативной нагрузки M = Q_y – qy²/2; в этой формуле у = 0,5l_s + c = 0.5 x 180 + 194 = 284 мм.

Q = ql₀/2 = 9 х 5.8/2 = 26,1 кН;

М = 26,1 х 0,284 – 9 х 0,284²/ 2 = 7,04 кН х м < 4,4 х 7 = 30,8 кН х м.

Таким образом, плита выдерживает момент в зоне анкеровки равный 30,8 кН х м, что больше момента создаваемого нормативной нагрузкой, который равен 7.04 кН х м. Таким образом, плита обеспечивает предел огнестойкости по потере несущей способности R60.

Расчёт определения времени потери теплоизолирующей способности

В соответствии с кривыми прогрева многопустотной плиты рис. 5.10 [32], через 60 минут на не обогреваемой поверхности температура составит 55 ⁰С, что меньше допустимой температуры прогрева бетона (предел огнестойкости по потере теплоизолирующей способности происходит при прогреве не обогреваемой поверхности до 140 ⁰С).

ВЫВОД: плита перекрытия ПК 58.12-8АIV-Т обеспечивает предел огнестойкости REI 60.

Пример решения 2:

Расчёт предела огнестойкости железобетонной колонны (сечение 400 х 400 мм)

Исходные данные: Железобетонная колонна сечением 400 х 400 мм: высота h=2,6м; жёстко заделана в железобетонное перекрытие; бетон тяжёлый на силикатном заполнителе, класса В25, R_bn = 18,5 МПа; арматура класса А400,8 Ø20, R_sc = 355МПа, толщина защитного слоя равна 30 мм. Усилия от нормативных нагрузок 1700 кН; М_n = 24,6 кН х м.

Требуемый предел огнестойкости – REI 150.

Расчёт

Арматурные стержни равномерно распределены по сечению колонны: по 3 стержня на каждой стороне. Расстояние от нагреваемых сторон колонны до арматурных стержней равно 30 мм. Из рис.Б.7 приложения Б [32] для колонны сечением 400 х 400 мм и длительностью стандартного пожара 180 мин находим температуру нагрева всех стержней в колонне. Затем по табл.2.8 [32] в зависимости от температуры нагрева арматуры находим коэффициент условия работы γ_st. t_s =700 ⁰С, γ_st = 0,2; А_s = 2512 мм².

ΣR_sct х А_s = 355 х 2512 = 0,9 х 10⁶ Н.

Глубина прогрева бетона на силикатном заполнителе, по рис. Б.7 приложения Б [32], до критической температуры t_b,cr = 500 ⁰С, составляет 60 мм a_t = 60мм, приведённая высота сечения определяется по формуле (5.6) [32] и равна h_t = h – 2a = 400 – 2 х 60 = 280 мм. приведённая площадь сечения бетонной колонны по формуле (5.9) [32] равна А_red = 0,9 х 0,28 х 0,28 = 0,07 м².

R_bn х А_red = 18,5 х 10⁶ х 0,07 = 1,3 х 10⁶ Н.

Эксцентриситет продольной силы равен по формуле (5.35) [32] равен

e₀ = 24,6/1700 = 0,01 м = 10 мм.

Эксцентриситет продольной силы не превышает случайный эксцентриситет, максимальное значение которого равно h/30 = 2,6/30 = 0,09 м = 90 мм.

Расчётная высота колонны при жёсткой заделке равна 0,5l = 2,6 х 0,5 = 1,3 м. 1,3/0,28 = 4,64 < 20, то есть ведётся по формуле (5.29) [32].

Коэффициент φ определяют по таблице 5.2 [32] φ = 0,92.

Сжимающая продольная сила, которую может выдержать колонна при пожаре, равна

N = 0,92(1,3х10⁶ + 0,9х10⁶) = 2,2 х 10⁶ Н = 2200 кН.

Дата добавления: 2017-02-01