Незатухающие механические и электромагнитные колебания. Сложение колебаний

2.1. Примеры решения задач

Пример 1

Материальная точка массой m = 10 г совершает гармонические колебания по закону синуса с периодом T = 2 с и начальной фазой, равной нулю. Полная энергия колеблющейся точки W = 0,1 мДж.

Найти: 1) амплитуду колебаний; 2) написать уравнение данных колебаний;

3) найти наибольшее значение силы F_max, действующей на точку.

Дано: m = 10 г = 0,01 кг T = 2 с W = 0,1 мДж = 0,1х10^-3 Дж

A -? F _max -?

Решение: Уравнение гармонических колебаний имеет вид

.

По условию задачи начальная фаза равна нулю, следовательно

Взяв первую производную смещения по времени, найдем скорость колеблющейся точки

.

Кинетическая энергия колеблющейся точки

Полная энергия колеблющейся точки равна максимальному значению ее кинетической энергии

Отсюда находим следующее выражение для амплитуды колебаний

Циклическая частота связана с периодом колебаний соотношением

Подставляя его в выражение для амплитуды, получаем

,

м.

Найдем численное значение частоты

, .

Запишем уравнение гармонических колебаний для данной точки

, м

Согласно второму закону Ньютона

(1)

Ускорение колеблющейся точки найдем, взяв вторую производную смещения по времени (или, что то же самое, первую производную от скорости по времени)

Отсюда максимальное ускорение

.

Подставив это выражение максимального ускорения в соотношение (1), найдем максимальную силу, действующую на точку,

.

Произведем вычисления

Н.

Ответ: м; , м; мН.

Пример 2

Написать уравнение гармонического колебательного движения, происходящего по закону синуса, если максимальное ускорение точкисм/с², период колебаний с и смещение точки от положения равновесия в начальный момент временимм.

Дано: см/с² T = 2 с мм

Уравнение г.к.-?

Решение: Смещение точки изменяется с течением времени по закону

1). Зная период колебаний, находим циклическую частоту

c^-1.

2). Найдем, как изменяется с течением времени ускорение материальной точки. Для этого надо установить зависимость скорости точки от времени, а затем продифференцировать эту зависимость по времени

, а

Ускорение будет максимальным при

Таким образом, ,откуда следует, что

см.

3). Начальную фазу найдем из условия, что в начальный момент времени смещение от положения равновесиямм:

, откуда находим, что

,

т.е.

Подставив полученные значения амплитуды, циклической частоты и начальной фазы в уравнение колебаний, получим искомое уравнение гармонического колебания

см.

Ответ: см.

Пример 3

Найти отношение кинетической энергии точки, совершающей гармонические колебания по закону синуса к ее потенциальной энергии для моментов времени . Начальная фаза колебаний .

Дано:

Решение: Так как начальная фаза колебаний , то уравнение смещения точки от положения равновесия примет вид

.

Тогда скорость точки изменяется по закону

Кинетическая энергия точки равна

а потенциальная энергия точки, совершающей гармонические колебания, вычисляется по формуле

Тогда

Так как , то получаем, что

.

Найдем отношение для момента времени :

Ответ: .

Пример 4

Найти амплитуду и начальную фазу гармонического колебания, полученного от сложения одинаково направленных колебаний, данных уравнениями см и см. Написать уравнение результирующего колебания. Построить векторную диаграмму сложения амплитуд.

Дано: см см

Уравнение гармонических колебаний -?

Решение: Так как складываются два одинаково направленных гармонических колебания одинаковой частоты c^-1, то результирующее колебание будет иметь ту же частоту: c^-1.

Амплитуду A и начальную фазы результирующего колебания найдем с помощью метода векторных диаграмм. Для этого изобразим графически оба складываемых колебания на векторной диаграмме (см. рисунок).

Напомним, что для изображения колебания, уравнение которого , методом векторных диаграмм необходимо из произвольной точки , выбранной на оси , отложить вектор , длина которого равна амплитуде колебания, причем угол между вектором и осью должен быть равен начальной фазе колебания.

В нашей задаче начальная фаза первого колебания , поэтому вектор откладывается вдоль оси , причем его длина см.

Так как , то вектор откладывается перпендикулярно оси и его длина равна см. Амплитуда результирующего колебания равна .

Величину амплитуды найдем по теореме Пифагора

см.

Из рисунка видно, что начальная фаза равна

рад.

Таким образом, уравнение результирующего колебания будет иметь вид см.

Ответ: см.

Пример 5

Складываются два колебания одинакового направления, выражаемых уравнениями x ₁= A ₁cosw(t +t₁), x ₂= A ₂cosw(t +t₂) где, A ₁=1см, A ₂=2см, t₁=c, t₂=c, w=p c^-1. Определить начальные фазы и составляющих колебаний, найти амплитуду и начальную фазу результирующего колебания. Написать уравнение результирующего колебания.

Дано: x ₁= A ₁cosw(t +t₁) x ₂= A ₂cosw(t +t₂) A ₁=1см A ₂=2см w=p c^-1

Уравнение результирующего колебания -?

Решение: Уравнение гармонического колебания имеет вид:

.

Преобразуем уравнения, заданные в условия задачи, к такому же виду: , (1)

(2)

Из сравнения выражений (2) с равенством (1) находим начальные фазы первого и второго колебаний:

рад;

рад.

Для определения амплитуд и начальной фазы результирующего колебания воспользуемся методом векторных диаграмм.

На рисунке построена векторная диаграмма по данным задачи

Согласно теореме косинусов амплитуда результирующего колебания определяется соотношением

(3)

Подставив значения и в соотношение (3), произведем вычисления

см.

Тангенс начальной фазы результирующего колебания определим по соотношению

откуда начальная фаза

Подставив значения ,,,произведем вычисления

Так как циклические частоты складываемых колебаний одинаковы, то результирующее колебание будет иметь ту же частоту . Это позволяет написать уравнение результирующего колебания в виде.

, (4)

где , , рад.

Подставляя значения и в (4), получаем уравнение результирующего колебания

, см.

Ответ: см.

Пример 6

Точка участвует одновременно в двух взаимно перпендикулярных гармонических колебаниях, заданных уравнениями: и , где см, см,. Найти уравнение траектории точки и построить ее с соблюдением масштаба.

Дано: см

Решение: Уравнение траектории результирующего движения точки, получающего при сложении взаимно перпендикулярных колебаний с одинаковыми частотами, имеет вид:

В данном случае , поэтому .

Подставляя это значение в предыдущее уравнение, имеем

; .

Видно, что траекторией результирующего движения в данном случае является прямая. Построим ее с соблюдения масштаба.

Стрелками указаны направления движения точки по траектории.

Ответ:

Пример 7

Материальная точка участвует одновременно в двух взаимно перпендикулярных гармонических колебаниях, уравнения которых и , где см,. Найти уравнение траектории точки и построить ее с соблюдением масштаба.

Дано: см c^-1

Решение: Чтобы найти уравнение траектории точки, исключим время из заданных уравнений. Для этого воспользуемся формулой .

В данном случае

,

; ; отсюда

- это уравнение параболы.

Подставим :

Построим по точкам: при

при ,

ветви параболы направлены вверх.

Стрелками указано направление движения точки.

Ответ: .

Пример 8

Колебательный контур состоит из конденсатора емкостью 0,025 мкФ и катушки с индуктивностью 1,015 Гн. Омическим сопротивлением цепи пренебречь. На обкладках конденсатора находится заряд Кл.

1). Написать для данного контура уравнения (с числовыми коэффициентами) законы изменения разности потенциалов на обкладках конденсатора и силы тока в цепи от времени.

2). Найти значения разности потенциалов на обкладках конденсатора и силы тока в цепи в момент времени и

Дано: Ф Гн Кл

Уравнение? ,

Решение: Уравнение изменения заряда на обкладках конденсатора со временем имеет вид

.

Начальная фаза колебаний равна нулю, следовательно,

Изменение направления на обкладках конденсатора задается уравнением

,

- циклическая частота собственных колебаний в контуре,

,

где – период собственных колебаний

Следовательно, .

Чтобы записать с числовыми коэффициентами уравнение изменения разности потенциалов, произведем вычисления:

с^-1;

В.

Таким образом, получаем уравнение в виде

В.

Изменение силы тока со временем задается уравнением

где - амплитудное значение силы тока. Рассчитаем эту величину

А.

Окончательно получаем уравнение

, А.

Получаем значение разности потенциалов, и силы тока в цепи в момент времени

Аналогично для момента времени :

.

Ответ: В;,А; ; ; .

2.2. Задачи для самостоятельного решения

1.* Точка совершает гармонические колебания по закону синуса. Период колебаний , амплитуда мм, начальная фаза . Найти скорость точки в момент времени, когда смещение точки от положения равновесия мм.

()

2. Определить максимальное значение скорости и ускорения точки, совершающей гармонические колебания с амплитудой см и угловой частотой .

3. Колебания материальной точки происходят согласно уравнению , где см, . В момент, когда возвращающая сила достигла значения – 5 мН, потенциальная энергия стала равной 100 мкДж. Найти этот момент времени и соответствующую ему фазу колебаний.

4. К спиральной пружине подвесили грузик, в результате чего пружина растянулась на см. Каков будет период колебаний грузика, если его немного оттянуть вниз и затем отпустить?

()

5. Потенциальная энергия частицы, совершающей гармонические колебания вдоль оси по закону косинуса, в момент времени больше ее кинетической энергии в раза. Найти – отношение координаты частицы к амплитуде ее колебаний в этот момент времени.

6. Колебания точки происходят по закону . В некоторый момент времени смещение точки равно 5 см, ее скорость см/с и ускорение см/с². Найти амплитуду , угловую частоту , период колебаний и фазу в рассматриваемый момент времени.

()

7. Складываются два гармонических колебания одного направления с одинаковыми периодами c и амплитудами . Начальные фазы колебаний рад и рад. Определить амплитуду и начальную фазу результирующего колебания. Найти его уравнение и построить с соблюдением масштаба векторную диаграмму сложения амплитуд.

()

8. Складываются три гармонических колебания одного направления с одинаковыми периодами с и амплитудами см. Начальные фазы колебаний . Построить векторную диаграмму сложения амплитуд. Определить из чертежа амплитуду и начальную фазу результирующего колебания. Написать его уравнение.

()

9. Складываются два гармонических колебания одинаковой частоты и одинокого направления: см и см. Построить векторную диаграмму сложения амплитуд. Определить амплитуду и начальную фазу результирующего колебания. Написать уравнение результирующего колебания.

(рад)

10. Материальная точка одновременно участвует в двух взаимно перпендикулярных колебаниях, выражаемых уравнениями и , где см, см. Найти уравнение траектории и построить траекторию, показав направление движения точки.

11. Движение точки задано уравнениями и , где см, см, рад. Найти уравнение траектории и построить ее, указав направление движения точки.

12. Складываются два взаимно перпендикулярных колебания, выражаемые уравнениями и , где A ₁=2см, A ₂=1см, ,с. Найти уравнение движения и построить траекторию, показав направление движения точки.

()

13. Электроемкость идеального электрического колебательного контура

С = 0,1 нФ. В момент времени конденсатор был не заряжен, а в катушке индуктивности мгновенно индуцировали ток силой мА, после чего контур предоставили самому себе. В контуре начались незатухающие электромагнитные колебания с периодом мкс. Полагая, что колебания заряда конденсатора происходят по закону косинуса, найти: индуктивность контура ; начальную фазу колебаний; момент времени , ближайший к начальному , когда сила тока в контуре впервые после начала колебаний уменьшаются до значения мА.

(L=0,25 мГн; рад; нс)

14. Катушка с индуктивностью мкГн присоединена к плоскому конденсатору с площадью пластин м² и расстоянием между ними мм. Найти диэлектрическую проницаемость среды, заполняющей пространство между пластинками, если контур настроен на частоту Гц.

()

15.* Уравнение изменения тока со временем в колебательном контуре имеет вид . Индуктивность контура Гн. Найти период колебаний , емкость контура, максимальную энергию магнитного поля и максимальную энергию электрического поля.

()

16.* Найти отношение энергии магнитно поля колебательного контура к энергии его электрического поля для момента времени T/8.

(W _м /W _эл=1)

17. Уравнение изменения со временем разности потенциалов на обкладках конденсатора в колебательном контуре имеет вид . Емкость конденсатора мкФ. Найти период T колебаний, индуктивность L контура, закон изменения со временем t тока в цепи.

(мА)

18. В момент времени конденсатор идеального электрического колебательного контура заряжают до амплитудного значения , после чего контур предоставляют самому себе. Найти через какое время после начала колебаний энергия электрического поля конденсатора уменьшится на , если период колебаний в контуре мкс. Какую долю от полной энергии составит энергия магнитного поля в момент времени ?

(мкс, )

Дата добавления: 2014-01-04