КАТЕГОРИИ: Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748) |
Обчислення площі за допомогою криволінійного інтегралу ІІ роду
План Вопросы Условия независимости криволинейного интеграла ІІ рода от пути интегрирования. Признак точного дифференциала Пусть - некоторая связная область. Пусть на этой области определены непрерывные функции. Пусть и - две произвольные точки из области, - произвольная кривая, которая соединяет и и полностью находится в. Вопрос: Когда значение интеграла
(60)
не зависит от формы пути, т.е. однозначно определяется только точками и? Теорема. Для того, чтобы интеграл (60) не зависел от пути интегрирования, необходимо и достаточно, чтобы дифференциальное выражение было в области дифференциалом от некоторой функции:
,
т.е..
Пусть в области непрерывны не только сами функции, а и. Если, т.е., то
.
Поскольку - непрерывны, то непрерывны и смешанные производные второго порядка, а потому, из чего следует: . (70)
Условие (70) - это необходимое условие того, чтобы выражение было в области полным дифференциалом. Можно показать, что (70) – это и достаточное условие в случае односвязности. Таким образом, имеет место следующая теорема. Теорема. Для того, чтобы криволинейный интеграл ІІ рода (60), где бы в области не были взяты точки и, не зависел от формы пути, необходимо, а если - односвязная обасть, и достаточно, чтобы выполнялось условие (70).
Треба обчислити площу криволінійної трапеції (рис.1), при цьому і можуть бути стягнутими в точки. Криві і задаються наступним чином:
:,:,,
і вони такі, що будь-яка пряма, паралельна ОУ () перетинає кожну з них в одній точці. Таку криволінійну трапецію будемо називати трапецією І типу.
Як відомо з теми «Застосування інтеграла Римана», площа криволінійної трапеції визначається за допомогою формули:
. (10)
З іншого боку:
,,
Тоді
. (20)
Нехай - це контур. Оберемо додатний напрямок обходу цього контура (протилежний тому напрямку, який зображено на рис.1), тоді з формули (20) маємо, що площа криволінійної трапеції І типу може бути обчислена за формулою:
. (30)
Розглянемо криволінійну трапецію ІІ типу (рис.2), яка обмежена
:,:,,
а і можуть бути стягнутими в точки. Криві і такі, що будь-яка пряма, паралельна ОХ () перетинає кожну з них в одній точці. Крива - це контур.
Тоді аналогічно тому, як це було зроблене вище для криволінійної трапеції І типу, можна показати, що площа криволінійної трапеції ІІ типу може бути обчислена за допомогою формули: . (40)
Деякі області одночасно можна розглядати як криволінійні трапеції і І, і ІІ типу (наприклад, область на рис.3). В цьому випадку для обчислення площі такої фігури підходять обидві формули: (30) і (40). якщо ці формули почленно скласти і поділити на 2, то отримаємо ще одну формулу для обчислення площі фігури, яка одночасно є криволінійною трапецією і І, і ІІ типу, у вигляді криволінійного інтеграла загального виду:
. (50)
Нехай тепер треба обчислити площу плоскої фігури, яка не є криволінійною трапецією ні І, ні ІІ типу (наприклад, фігура, яка представлена на рис.4). У цьому випадку подану фігуру розбивають прямими, паралельними осям координат, на частки, кожна з яких буде криволінійною трапецією І чи ІІ типу (рис.4). Площу кожної частки обчислюють, користуючись одною з формул (30), (40), (50). Площа всієї фігури буде дорівнювати сумі площ її часток.
Рис.4.
Приклад. Знайти площу еліпса, параметричне завдання якого, як відомо, виглядає наступним чином: .
Оскільки еліпс є одночасно як криволінійною трапецією І, так і ІІ типу, для обчислення його площі можна скористатися формулою, наприклад, (50):
.
Дата добавления: 2014-01-04; Просмотров: 762; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы! Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет |