Лекция 45. Свойства двойного интеграла

План

1. Побудова інтегральної суми для подвійного інтегралу. Визначення подвійного інтегралу
2. Криволінійні трапеції першого і другого типу.
3. Зведення подвійного інтегралу до повторного

1. Побудова інтегральної суми для подвійного інтегралу. Визначення подвійного інтегралу

Нехай в області визначена функція. Розібємо область кривими на скінченну кількість часток,,...,, площі яких відповідно позначимо (рис.1). В кожній підобласті оберемо довільно точку, обчислимо значення функції у цих точках. Суму

будемо називати інтегральною сумою для в області.

Позначимо:

.

Рис.1.

Визначення. Якщо існує, яка не залежить ні від того, як область розбивалася на частки, ні від того, як обиралися проміжкові точки, то ця границя називається подвійним інтегралом від функції в області і позначається:

.

Геометричний зміст подвійного інтегралу. Розглянемо тіло, яке зверху обмежено поверхнею, знизу – плоскою фігурою, яка знаходиться на координатній площині ХОУ, з боків – циліндричною поверхнею з твірною, паралельною осі OZ(рис.1). Тоді значення подвійного інтегралу - це обєм тіла (рис.1).

1. Зведення подвійного інтегралу до повторного

Нехай тіло в тривимірному просторі обмежено площинами. Припустимо, що переріз тіла площиною, перпендикулярною до осі ОХ, яка перетинає цю вісь у точці з абсцисою (), має площу. Тоді, як відомо з теми «Застосування інтеграла Римана», обєм тіла буде обчислюватися за формулою:

. (5)

Скористаємося цією формулою для обєма циліндричного тіла. Нехай спочатку в його основі буде прямокутник (рис.2). Переріз тіла площиною є криволінійною трапецією проекція якої на координатну площину - (рис.2). Площа отриманого перерізу буде дорівнювати:

. (10)

Формула (10) має місце для будь-якого, тому

. (20)

Підставляючи (20) у (5), отримаємо:

. (30)

Враховуючи геометричний зміст подвійного інтеграла, з формули (30) отримаємо:

. (40)

Формула (40) є формулою зведення подвійного інтегралу до повторного у випадку, коли область.

Рис.2.

Нехай тепер область на ХОУ є криволінійною трапецією І типа і обмежена кривими

(рис.3). Цей випадок відрізняється від попереднього тим, що раніше для кожного фіксованого значення змінювалися на, а тепер, тому

.

Тоді

. (50)

Формула (50) є формулою зведення подвійного інтегралу до повторного у випадку, коли область є криволінійною трапецією І типа.

Нехай тепер область на ХОУ є криволінійною трапецією ІІ типа (рис.4), тоді має місце настуна формула зведення подвійного інтеграла до повторного:

. (60)

Якщо область на ХОУ є одночасно як криволінійною трапецією І, так і ІІ типа, то для обчислення подвійного інтеграла можна користуватися формулами (50), (60) і при цьому:

. (70)

Формула (70) – це формула заміни порядку інтегрування.

Дата добавления: 2014-01-04