Визначення потрійного інтегралу

План

Лекція 48. Потрійний інтеграл і його обчислення

Вычисление тройных интегралов

Свойства интегрируемых функций и тройных интегралов

Определение тройного интеграла

План

Лекция 48. Тройной интеграл и его вычисление

1. Определение тройного интеграла
2. Свойства интегрируемых функций и тройных интегралов
3. Вычисление тройных интегралов

Пусть в некоторой пространственной области (рис.1) определена функция:

.

Разобьем поверхностями на конечное количество частей,,..., с объемами,,...,. В каждой части произвольно выберем промежуточные точки, и вычислим в них значения функции. Тогда

называется интегральной суммой для тройного интеграла.

Обозначим:

.

Определение. Если существует

,

который не зависит ни от того, как тело разбивалось на части, ни от выбора промежуточных точек, то этот предел называется тройным интегралом от функции по области и обозначается:

.

Теорема 1 (необходимое условие существования тройного интеграла). Пусть для функции существует тройной интеграл по области, тогда ограничена на.

Задание. Выписать свойства интегрируемых функций и тройных интегралов (Фихт., т.ІІІ, стр.310-313).

Пусть - прямоугольный параллелепипед (рис.2), который проектируется на YOZ в прямоугольник. Для такого имеет место теорема.

Теорема 2. Если для функции существует тройной интеграл и для любого фиксированного существует двойной интеграл

,

то существует и повторный интеграл:

и

.

Если дальше предположить, что для любых і существует интеграл, то

. (1)

При нужном существовании интегралов переменные интегрирования в формуле (1) можно менять местами.

Рис.2.

Замечание. Можно показать, что если существует тройной интеграл и интеграл для любых и, то

,

де.

Пусть имеет произвольную форму, функция определена на. Построим - прямоугольный параллелепипед, который содержит в себе, и определим на нем функцию:

Этим путем получаются все следующие формулы.

Пусть тело находится между плоскостями (рис.3), и каждой плоскостю, перпендикулярной оси ОХ, где, пересекается по некоторой фигуре с площадью, проекцию которой на плоскость YOZ обозначим (рис.3).

Рис.3

Тогда

(2)

в предположении существования двойного и тройного интегралов.

Пусть - цилиндрический брус с образующей, параллельной оси OZ, ограниченный снизу и сверху соответственно поверхностями (рис.4):

Тогда аналогично (2) имеем:

, (3)

Рис.4.

если предположить существование тройного и простого интегралов.

Пример. Вычислить, где область определяется следующим образом (рис.5):

Тогда

.

1. Визначення потрійного інтегралу
2. Властивості інтегрованих функцій і потрійних інтегралів
3. Обчислення потрійних інтегралів

Нехай в деякій просторовій області (рис.1) визначена функція:

.

Розібємо поверхнями на скінченну кількість часток,,..., з обємами,,...,. В кожній частці довільно обоеремо проміжкові точки, і обчислимо в них значення функції. Тоді

називається інтегральною сумою для потрійного інтеграла.

Позначимо:

.

Визначення. Якщо існує

,

яка не залежить ні від того, як тіло розбивалося на частки, ні від вибору проміжкових точок, то ця границя називається потрійним інтегралом від функції по області і позначається:

.

Дата добавления: 2014-01-04