Вопросы. Свойства полных систем. Понятие замкнутой системы

Свойства полных систем. Понятие замкнутой системы

Полная ортогональная система. Критерий полноты ортогональной системы. Равенство Парсеваля

Определение 3. Система ортогональных функций из пространства называется полной в пространстве, если ряд Фурье для любой функции сходится в среднем к.

Теорема 1 (критерий полноты системы ортогональных функций). Ортогональная система будет полной в тогда и только тогда, когда имеет место равенство

для любой.

Доказательство. Пусть - ортогональная система функций в пространстве. Построим ряд Фурье для произвольной функции:

, где.

По определению система является полной тогда и только тогда, когда, тут - ая усеченная сумма ряда, которая одновременно является многочленом Фурье. Учитывая это, вспомним тождество Бесселя:

.

Тогда, если перейти в левой части тождества Бесселя к пределу, когда, получим:

,

но это равносильно тому, что предел правой части также равняется 0:

.

Последнее равенство называется равенством Парсеваля.

Определение 4. Ортогональная система функций из пространства называется замкнутой, если из того, что функция ортогональна каждой функции из системы вытекает, что ~0 в пространстве, т.е. может отличаться от 0 лишь в конечном количестве точек сегмента.

Теорема 1. Если система является полной в пространстве, она является и замкнутой.

Доказательство. Пусть функция ортогональна всем функциям.

Покажем, что ~0 в. Имеем:

,

поскольку ортогональна всем.

Система является полной, тогда имеет место равенство Парсеваля:. Учитывая, что все, имеем:

,

а потому из равенства Парсеваля получим:

,

откуда по свойствам определенного интеграла Римана вытекает, что ~0, а потому система функций является замкнутой, что и нужно было доказать.

Теорема 2. Если система функций является полной в, а функции и имеют одинаковые коэффициенты Фурье по этой системе, то ~ (если и - непрерывны, то).

Доказательство. Построим вспомогательную функцию. Найдем коэффициенты Фурье, для:

Из того, что для любого вытекает, что ортогональна каждой. Поскольку полная, а потому и замкнутая, то ~0, или ~.

Утверждение. Основные тригонометрические системы являются полными.

1. Когда говорят, что функциональная последовательность сходится в среднем к из?

2. Когда говорят, что функциональный ряд сходится в среднем к сумме?

3. Какая система ортогональных функций из пространства называется полной в пространстве?

4. Критерий полноты системы ортогональных функций. Доказать.

5. Какая ортогональная система функций из пространства называется замкнутой?

6. Связь между полнотой и замкнутостью ортогональной системы.

7. Какими являются основные тригонометрические системы?

Дата добавления: 2014-01-04