Понятие сходимости в среднем

План

Лекция 52. Свойства ортогональных систем

Питання

Нерівність Бесселя

Тотожність Бесселя

Визначення квадратичного відхилення та його властивості. Многочлен по ортогональній системі

План

1. Визначення квадратичного відхилення та його властивості. Многочлен по ортогональній системі
2. Тотожність Бесселя
3. Нерівність Бесселя

Нехай функції і з простору.

Визначення 1. Число

називається квадратичним відхиленням функції від функції.

Квадратичне відхилення – це аналог відстані в просторі.

Властивості квадратичного відхилення:

1) Для будь-яких функцій:;

2) ~ (тобто різниця - лише в скінченній кількості точок).

Поняття квадратичного відхилення можливо ввести для будь-яких функцій, квадрат різниці яких буде інтегрований.

Нехай - ортогональна система,.

Визначення 2. Функція

називається многочленом по ортогональній системі

Задача. Нехай, - ортогональна система функцій в. Треба зясувати, при яких значеннях квадратичне відхилення

буде найменшим.

Для рішення поставленої задачі зручніше розглядати:

З останньої рівності зрозуміло, що мінімум квадратичного відхилення маємо тоді, коли. Тоді

. (1)

Визначення 3. Многочлен

,

де (тобто визначаються за формулою (7) лекції 50),, називається многочленом Фурьє по ортогональній системі.

Висновок. Найменше квадратичне відхилення функція має від многочлену Фурьє.

Рівність (1) називається тотожністю Бесселя.

Ліва частина в рівності (1) невід’ємна, тому невідємною буде і права частина:

,

Тоді

. (2)

Ліва частина останньої нерівності - це n -а зрізана сума числового ряду з додатними членами. Нерівність (2) говоре про обмеженість зверху всієї послідовності зрізаних сум ряду, тобто про його збіжність. Тоді якщо перейти до границі в нерівності (2) при, отримаємо:

- нерівність Бесселя.

1. Визначення квадратичного відхилення між функціями.

2. Властивості квадратичного відхилення між функціями.

3. Яка функція називається многочленом по ортогональній системі?

4. Сформулювати задачу про найменше квадратичне відхилення.

5. Яка функція називається многочленом Фурьє по ортогональній системі?

6. Вивести тотожність Бесселя.

7. Вивести нерівність Бесселя.

1. Понятие сходимости в среднем
2. Полная ортогональная система. Критерий полноты ортогональной системы. Равенство Парсеваля
3. Свойства полных систем. Понятие замкнутой системы

Пусть дана функциональная последовательность, элементы которой принадлежат.

Определение 1. Говорят, что функциональная последовательность сходится в среднем к из, если

.

Определение 2. Говорят, что функциональный ряд, все члены которого из пространства, сходится в среднем к сумме, если к в среднем сходится функциональная последовательность усеченных сумм этого ряда, т.е.

.

Дата добавления: 2014-01-04