КАТЕГОРИИ: Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748) |
Интегрирование некоторых иррациональных функций
.
Подынтегральная функция рациональна относительно . Заметим, что с помощью универсальной подстановки очень удобно вычислять интегралы вида .
Пример. Найти . Решение. Применим универсальную подстановку : .
Хотя универсальная подстановка всегда позволяет вычислить интегралы вида , однако ее используют сравнительно редко, так как она часто приводит к интегрированию громоздких рациональных дробей. Поэтому в ряде случаев более удобно использовать частные подстановки.
В частности, при вычислении интегралов вида можно воспользоваться следующими рекомендациями:
1. Если подынтегральная функция нечетна относительно , т. е. , то применяется подстановка =.
2. Если подынтегральная функция нечетна относительно , т. е. , то используют подстановку = .
3. Если подынтегральная функция четна относительно и , т. е. , то применяется подстановка . Пример. Найти . Решение. Подынтегральная функция четна относительно и . Применяем подстановку : Интегралы вида (, , r0, r0). Если хотя бы одно из чисел или — нечетное, то, отделяя от нечетной степени один сомножитель и выражая с помощью формулы оставшуюся четную степень через вторую функцию, приходим к табличному интегралу. Пример. Найти . Решение.
Если же и — четные числа, то степени понижаются посредством перехода к двойному аргументу с помощью тригонометрических формул. Не для всякой иррациональной функции можно найти первообразную, выраженную через конечное число элементарных функций. Рассмотрим интегралы от некоторых иррациональных функций, которые с помощью определенных подстановок приводятся к интегралам от рациональных функций новой переменной.
Интегралы вида ( —целые числа). В этих интегралах подынтегральная функция рациональна относительно переменной интегрирования и радикалов от . Они вычисляются подстановкой , где — общий знаменатель дробей При такой замене переменной все дроби являются целыми числами, т. е. интеграл приводится к рациональной функции от переменной . Пример. Найти . Решение. Так как общий знаменатель дробей 1/2 и 1/3 равен 6, сделаем замену . Тогда Интегралы вида . Для нахождения таких интегралов выделяется полный квадрат под знаком радикала: и применяется подстановка (или используется свойство №5 неопределенного интеграла ). В результате этот интеграл сводится к табличному.
Пример. Найти .
Дата добавления: 2014-01-04; Просмотров: 670; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы! Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет |