Завдання точки 81

Вступ 68

Основа перпендикуляра, опущеного з точки на пряму 66

Метрика точкового числення 64

4.7.1. Метричний оператор трьох точок. Довжина відрізка прямої. Кут між прямими 64

4.7.3. Точка виходу з площини та її геометрична інтерпретація. Точка виходу з площини на відстань d 66

4.7.4. Площа трикутника, розташованого в площині загального положення 67

4.7.5. Визначення вершини піраміди по заданій основі і висоті 67

4.8. Побудова вершини трикутної піраміди по заданій основі, висота якої

проекціюється в центроїд основи 68

4.8.2. Базові поняття 69

4.8.3. Векторний добуток векторів та їх інтерпретація в точковому численні 73

РОЗДІЛ 5. ТЕОРЕТИЧНІ ОСНОВИ АКСОНОМЕТРІЇ 75

5.1. Основні поняття аксонометрії 75

5.2. Основні теореми аксонометрії 76

5.3. Види аксонометрії 77

5.4. Приведені показники спотворення. Стандартні види аксонометрії 77

5.4.1. Прямокутні проекції 78

5.4.2. Косокутні проекції 79

5.5. Координатний спосіб побудови аксонометрії 79

РОЗДІЛ 6. ПРОЕКЦІЇ З ЧИСЛОВИМИ ПОЗНАЧКАМИ 81

6.1. Основні поняття ПЧП 81

6.2. Завдання точки. Завдання прямої. Дійсна величина відрізка прямої. Уклон та інтервал прямої 81

6.2.2. Завдання прямої 82

6.2.3. Дійсна величина відрізка прямої 83

6.2.4. Уклон та інтервал прямої 83

6.3. Градуювання прямої. Задачі із прямою та її відрізками 84

6.4. Завдання площини. Масштаб уклонів 84

6.5. Перетин двох площин і прямої із площиною 86

6.6. Проекції поверхонь. Завдання топографічних поверхонь. Перетин поверхні із площиною 87

6.6.1. Проекції поверхонь 87

6.6.2. Завдання топографічних поверхонь 87

6.6.3. Перетин поверхні із площиною 88

6.7. Профіль поверхні 88

РОЗДІЛ 7. КОНСТРУЮВАННЯ ГОРИЗОНТАЛЬНОЇ БУДІВЕЛЬНОЇ ПЛОЩАДКИ НА ТОПОГРАФІЧНІЙ ПОВЕРХНІ 90

7.1. Мета завдання, зміст та рекомендації щодо оформлення роботи 90

7.2. Приклад виконання графічної роботи 91

7.2.1. Визначення інтервалів укосів виїмки та насипу 91

7.2.2. Побудова лінії перетину прямолінійних укосів земляної споруди 92

7.2.3. Побудова лінії перетину прямолінійного і криволінійного укосів 93

7.2.4. Визначення границь земляних робіт 93

7.2.5. Побудова профілю топографічної поверхні та споруди 95

СПИСОК ВИКОРИСТАНОЇ ЛІТЕРАТУРИ 97

ВСТУП. МЕТА ТА ЗАДАЧІ КУРСУ

Програма графічної підготовки інженерів містить чотири розділа: “Нарисна геометрія”, “Інженерна графіка”, Обчислювальна геометрія” та “Комп’ютерна графіка”.

Нарисна геометрія, як геометрія, вивчає просторові форми та співвідношення між ними, як нарисна - застосовує для розв’язання своїх задач мову креслення. Пропонований курс містить у собі елементи точкового опису геометричних форм, що дозволяє нарисній геометрії використовувати, як інструмент, комп’ютер.

Задачами курсу нарисної геометрії є:

1. Навчання майбутнього інженера можливості зображувати об'єкти простору на площині (на плоскому кресленні);

2. Навчання читанню плоских креслень просторових форм (читати просторові форми по системі їх плоских зображень);

3. Навчання розв’язанню задач із просторовими формами на плоских кресленнях за допомогою спеціальних методів властивих нарисній геометрії.

РОЗДІЛ 1. ТОЧКА, ПРЯМА, ПЛОЩИНА

1.1. КОМПЛЕКСНЕ КРЕСЛЕННЯ ТОЧКИ І ПРЯМОЇ

1.1.1. КООРДИНАТИ І ПРОЕКЦІЇ ТОЧОК. ЕПЮР (КРЕСЛЕННЯ) Г. МОНЖА

У Декартової системі координат OE₁E₂E₃ (рис.1) точка А(x,y_,z) визначається трьома дійсними числами x_, y_, z, що називаються координатами точки А. Одиничний відрізок ОЕ₁ визначає вісь абсцис ОХ, одиничний відрізок ОЕ₂ визначає вісь ординат OY, а одиничний відрізок ОЕ₃ – вісь аплікат OZ. Якщо на осях побудувати прямокутний паралелепіпед з орієнтованими сторонами, рівними координатам точки, то його вершина, протилежна початку координат О, визначить цю точку А.

У нарисній геометрії частіше використовуються не координати, а проекції точок (рис. 2) на три взаємо-перпендикулярні площини проекцій П_1, П₂, П₃. Ці площини називаються:

· Горизонтальна площина проекцій – П₁.

· Фронтальна площина проекцій – П₂.

· Профільна площина проекцій – П₃.

Проекції точки А на ці площини проекцій одержали відповідні найменування:

· А₁ – горизонтальна проекція точки А.

· А₂ – фронтальна проекція точки А.

· А₃ – профільна проекція точки А.

Щоб мати можливість використовувати в нарисній геометрії не тільки графічні, але й обчислювальні методи, зручно за горизонтальну площину проекцій П₁ прийняти координатну площину OXY, за П₂ º OXZ, за П₃ º OYZ. Тоді точка А і її проекції А₁, А₂, А₃ визначаються декартовими координатами:

Точку однозначно визначають три її координати. Оскільки будь-яка пара проекцій точки містить у собі всі три координати, то справедливо, важливе для нарисної геометрії, твердження:

СИСТЕМА ДВОХ ПРОЕКЦІЙ ТОЧКИ ОДНОЗНАЧНО ВИЗНАЧАЄ ЇЇ ПОЛОЖЕННЯ В ПРОСТОРІ, ПРИЧОМУ ОДНА З КООРДИНАТ ЗАГАЛЬНА ДЛЯ ДВОХ ПРОЕКЦІЙ.

З’єднавши рис. 1 і рис. 2 в один рис. 3, одержимо просторовий взаємозв'язок точки, її проекцій і координат. Три взаємо-перпендикулярні координатні площини, а з ними три нескінченні площини проекцій П₁, П₂, П₃ поділяють простір на вісім частин, що називаються октантами. З отриманого нами твердження, можна зробити висновок, що нарисна геометрія може використовувати не три, а дві площини проекцій П₁ і П₂. Дві площини проекцій поділяють простір на чотири частини, що називаються чвертями або квадрантами. Точка А (рис. 3) знаходиться в першій чверті, суміжні з нею – друга чверть (за фронтальною площиною П₂) і четверта чверть (під горизонтальною площиною проекцій П₁). Третя чверть симетрична першій відносно осі ОХ.

Координата у_А відображає віддалення точки А від фронтальної площини проекцій і називається глибиною точки А, z – відображає висоту точки А. Точка А₁₂Ì ОХ, що визначає абсцису точки, а також орієнтовані глибина і висота, що визначають ординату і аплікату цієї точки, відіграють особливу роль у нарисній геометрії. Вони утворюють епюр (креслення) Гаспара Монжа – систему двох сполучених уздовж осі ОХ координатних площин проекцій П₁і П₂.

При сполученні площин проекцій П₁ і П₂ обертанням навколо осі абсцис, осі OY і OZ зливаються в загальну пряму лінію, але мають різні напрямки (рис. 4). Ланки А₁₂А₁ і А₁₂А₂ координатної ламаної утворюють пряму А₁А₂ перпендикулярну осі ОХ, що називається лінією зв'язку. Плоске креслення, що складається з горизонтальної А₁ і фронтальної А₂ проекцій точки А, розташованих на лінії зв’язку А₁А₂, перпендикулярної осі проекцій ОХ º х₁₂ має ім'я засновника нарисної геометрії Г. Монжа (рис. 5).

    Рис. 5  

Монж Гаспар (10.5.1746 – 28.7.1818) – французький геометр і суспільний діяч, чл. Паризької АН (1780). Творець нарисної геометрії, один із творців Політехнічної школи в Парижі. Народився у Бон Кот-д'Ор. Тут закінчив міське училище, а також школу військових інженерів у Мезьере. У 1768 Монжа призначають професором математики, а в 1771 – і професором фізики в цій школі. З 1780 він викладає гідравліку в Луврскій школі (Париж). В ці роки вчений займається математичним аналізом, хімією, метеорологією, практичною механікою. У період Французької буржуазної революції Монж працював спочатку в місії по встановленню нової системи мір і ваг, а потім морським інженером і організатором національної оборони. Під час Директорії Монж зблизився з Наполеоном, брав участь у його поході в Єгипет і створенні в Каїрі Єгипетського інституту (1798). Монж одержав всесвітнє визнання, створивши (70-і роки) сучасні методи проекційного креслення і його основу – нарисну геометрію. Однак головний його здобуток з цих питань – “Нарисна геометрія” – було опубліковано в 1799. Важливі відкриття зробив Монж і в диференціальній геометрії. Перші його роботи про рівняння поверхонь були опубліковані в 1770 і 1773. У 1795 і 1801 вийшли у світ його роботи про кінцеві і диференціальні рівняння різних поверхонь. У 1804 була видана велика книга за назвою “Застосування аналізу до геометрії”. У ній Монж розглядав циліндричні та конічні поверхні, утворені рухом горизонтальної прямої, що проходить через фіксовану вертикальну пряму, канальчасті поверхні, поверхні, у яких лінії найбільшого нахилу утворюють постійний кут з горизонтальною площиною, поверхні переносу і т.п. Як додаток до книги вчений дав свою теорію інтегрування рівнянь з частковими похідними 1-го порядку і своє розв’язання задачі про коливання струни. Для кожного з видів поверхонь він вивів спочатку диференціальне, а потім і кінцеве рівняння. Він перший позначив буквами p і q часткові похідні від z по x і y, а буквами r, s і t – похідні другого порядку.

У залежності від того, в якій чверті знаходиться точка, її проекції, розташовані на лінії зв’язку, будуть змінювати своє положення відносно осі х₁₂. По положенню проекцій А₁, А₂ відносно осі, необхідно визначати положення точки А щодо площин проекцій:

· Проекції збігаються і належать осі проекцій Û точка належить осі.

· Проекції знаходяться над віссю проекцій Û точка в другій чверті.

· Проекції знаходяться під віссю проекцій Û точка в четвертій чверті.

· Горизонтальна проекція точки – під віссю, а фронтальна проекція точки – над віссю проекцій Û точка знаходиться в першій чверті.

· Горизонтальна проекція точки – над віссю, а фронтальна проекція точки – під віссю проекцій Û точка знаходиться в третій чверті.

· Горизонтальна проекція знаходиться на осі Þ точка належить фронтальної площини проекцій П₂.

· Фронтальна проекція точки – на осі Þ точка знаходиться на П₁.

Так, по парі проекцій точки, що знаходяться на площині (на аркуші паперу), читають положення точки в просторі (друга задача курсу нарисної геометрії).

І, навпаки, по положенню точки в просторі, зображують її креслення парою проекцій (перша задача курсу нарисної геометрії).

Освоїти перші дві задачі курсу для точки – основна мета вивчаючого курс!

ВПРАВИ:

1. Які чверті при сполученні площин проекцій в одну площину закриваються, а які розкриваються?

2. Якій площині належать точки, проекції яких збігаються?

3. У якій чверті знаходиться точка, координати якої усі негативні?

4. У якій чверті знаходиться точка В, симетрична точці А з першої чверті, відносно х₁₂?

5. Визначити координати точки В, симетричній точці А(20, -10, 30) відносно точки О. У яких чвертях знаходяться точки А і В? Побудувати наочні зображення і епюр Г. Монжа точок А і В.

1.1.2. ЕПЮР ВІДРІЗКА ПРЯМОЇ, ЙОГО НАТУРАЛЬНА ВЕЛИЧИНА ТА КУТИ НАХИЛУ ПРЯМОЇ ДО ПЛОЩИН ПРОЕКЦІЙ (СПОСІБ ПРЯМОКУТНОГО ТРИКУТНИКА).

Якщо з'єднати відрізком прямої однойменні (з однаковими індексами) проекції точок А і В (рис. 6), то одержимо проекції прямої АВ:

- горизонтальну проекцію А₁В₁ відрізка АВ,

- фронтальну проекцію А₂В₂ відрізка АВ.

У загальному випадку проекція відрізка завжди по довжині менше ніж його натуральна величина. Отже, маючи дві проекції відрізка, ми не маємо безпосередньо його натуральної величини. Оскільки дві проекції визначають відрізок, то вони також визначають і його довжину (натуральну величину), що дорівнює гіпотенузі прямокутного трикутника. Один катет такого трикутника дорівнює горизонтальної проекції А₁В₁ відрізкаАВ (рис. 6), а другий катет по довжині дорівнює різниці висот кінців цього відрізка. Трикутник з гіпотенузою по довжині рівній натуральній величині відрізка побудувати по його проекціях можна на будь-якому вільному місці креслення. Якщо необхідно визначити н.в. одного відрізка, то трикутник прибудовують до однієї з проекцій (рис. 7), якщо ж спосіб прямокутного трикутника потрібно застосувати багаторазово (визначаються довжини ребер багатогранника і т.п.), то використовують вільне поле креслення.

Зверніть увагу (рис. 7), що трикутник можна добудувати, як до горизонтальної проекції А₁В₁, так і до другого катета (різниці висот).

Для зорової наочності введені знаки:

“▐ ” – довжина горизонтальної проекції А₁В₁;

“╢” – довжина фронтальної проекції А₂В₂;

“≡” – різниця висот точок А і В.

“≈” – різниця глибин точок А і В;

“н. в. АВ” – натуральна довжина відрізка АВ;

“α” – кут нахилу прямої АВ до горизонтальної площини проекцій П₁;

“b” – кут нахилу прямої АВ до фронтальної площини проекцій.

На (рис. 7) побудовані чотири прямокутних трикутники для побудови величин α, β, н.в. АВ. Спосіб побудови таких величин у нарисній геометрії одержав назву від використаної для цього геометричної фігури – спосіб прямокутного трикутника для визначення довжини відрізка і кутів нахилу прямої до площин проекцій. Це перший спосіб нарисної геометрії, що дозволяє графічно вводити в неї метрику.

1.1.3. СЛІДИ ПРЯМОЇ НА ПЛОЩИНАХ ПРОЕКЦІЙ

Слідом прямої на площині називається точка перетину прямої із площиною. Нас будуть цікавити сліди прямої на площинах проекцій П₁ і П₂, щоб можна було описати, як розташовується пряма щодо площин проекцій (через які чверті вона проходить). Такий опис називається аналізом прямої.

Горизонтальним слідом називається точка Н перетину прямої з горизонтальною площиною проекцій.

Рис. 8

Нехай задана пряма відрізком АВ, на (рис. 8) задані два варіанти її розташування. Потрібно визначити її сліди Н і F, а також виконати аналіз прямої.

Побудова горизонтального сліду Н:

- фронтальну проекцію А₂В₂ прямої АВ про-

довжуємо до осі проекцій, одержуємо Н₂ (фронтальну проекцію горизонтального сліду Н);

- через Н₂ перпендикулярно осі проекцій про-

водимо лінію зв'язку до перетину з А₁В₁, одержуємо Н₁ (горизонтальну проекцію горизонтального сліду)

Фронтальним слідом називається точка F перетину прямої з фронтальною площиною проекцій.

Для прямої АВ (рис. 8) потрібно визначити фронтальний слід (два варіанти розташування прямої).

Побудова фронтального сліду F:

- горизонтальну проекцію А₁В₁ прямої АВ продовжуємо до осі проекцій, одержуємо F₁ (горизонтальну проекцію фронтального сліду);

- через F₁ перпендикулярно осі проекцій проводимо лінію зв'язку до перетину з А₂В₂, одержимо F₂ (фронтальну проекцію фронтального сліду).

Аналіз прямої АВ (перший варіант):

- відрізок прямої АВ між слідами F і Н знаходиться в першій чверті;

- пряма АВ, перетинаючи верхню частину фронтальної площини, іде променем у другу чверть;

- пряма АВ, перетинаючи передню частину горизонтальної площини, іде променем у четверту чверть.

Остаточно аналіз проходження прямої має вигляд:

Пряма, виходячи з другої чверті, перетинає верхню частину фронтальної площини входячи в першу чверть, потім перетинаючи передню частину горизонтальної площини, іде в четверту чверть.

Вправа: Виконати аналіз прямої АВ (другий варіант).

1.1.4. ПРЯМІ ОКРЕМОГО ПОЛОЖЕННЯ ВІДНОСНО ПЛОЩИН ПРОЕКЦІЙ

При зображенні креслень геометричних форм намагаються задати такі її проекції, щоб складові частини цієї форми найменше спотворювалися. У цьому випадку відрізки прямих займають особливе положення відносно площин проекцій (паралельні або перпендикулярні площинам проекцій).

Розрізняють два види прямих окремого положення:

- лінії рівня – прямі паралельні площинам проекцій;

- проекціюючі прямі - прямі перпендикулярні площинам проекцій.

Лінії рівня:

1. Горизонтальна пряма – пряма паралельна горизонтальній площині П₁;

2. Фронтальна пряма – пряма паралельна фронтальній площині П₂;

3. Профільна пряма – пряма паралельна профільній площині П₃.

Проекціюючі прямі:

1. Пряма, що горизонтально-проекціюється - пряма перпендикулярна горизонтальній площині проекцій П₁;

2. Пряма, що фронтально-проекціюється- пряма перпендикулярна фронтальній площині проекцій П₂;

3.
Пряма, що профильно-проекціюється- пряма перпендикулярна профільній площині проекцій П₃.

Вправа. Скільки ребер містить багатогранник? Які прямі окремого положення визначають ребра багатогранника?

1.2. ВЗАЄМНЕ ПОЛОЖЕННЯ ПРЯМИХ. ПЛОЩИНА

1.2.1. ВЗАЄМНЕ ПОЛОЖЕННЯ ПРЯМИХ

Для того, щоб розрізняти взаємне положення прямих по їх проекціях і мати можливість їх зображувати, варто засвоїти умови їхнього взаємного положення.

Умова паралельності прямих:

Прямі паралельні тоді і тільки тоді, коли їх дві проекції паралельні.

Умова перетину прямих:

Прямі перетинаються тоді і тільки тоді, коли їх три проекції перетинаються, і точки перетину цих проекцій лежать на одній лінії проекційного зв'язку.

У загальному випадку досить двох проекцій. Для профільних прямих необхідно три проекції, або досить дві, але серед цих двох повинна бути профільна проекція.

Умова схрещування двох прямих:

Прямі схрещуються тоді і тільки тоді, коли проекції цих прямих у загальному випадку перетинаються, але точки перетину цих проекцій не лежать на одній лінії проекційного зв'язку.

Окремі випадки схрещування прямих можуть мати пари паралельних проекцій. Для профільних прямих тільки третя (профільна) проекція характеризує їхнє взаємне положення.

Паралельні прямі загального положення

Перетинні прямі загального положення

Перехресні прямі загального положення

Паралельні профільні прямі  

Перехресні профільні прямі  

Розглянемо зображення загальних і окремих випадків взаємного розташування прямих на кресленні Г. Монжа.

    Рис. 1

Варто розглянути ці випадки і запам'ятати так, щоб по виду проекцій можно було розрізняти паралельні, перетинні та перехресні прямі, а також могти зобразити такі прямі, тобто необхідно засвоїти першу і другу задачі курсу нарисної геометрії, виділених на початку першої лекції, по взаємному розташуванню двох прямих розташованих у просторі.

1.2.2. ПРОЕКЦІЇ КУТА. ПРОЕКЦІЇ ПРЯМОГО КУТА

Кут не спотворюється на площині проекцій у тому випадку, якщо сторони, що утворюють його, паралельні до цієї площини проекцій. Для прямого кута умови менш жорсткі, досить паралельності цій площині проекцій тільки однієї сторони кута, а друга сторона кута може, при цьому, займати будь-яке положення, аби вона не проектуіювалася в точку.

    Рис. 2

1.2.3. СПОСІБ КОНКУРУЮЧИХ ТОЧОК ДЛЯ ВИЗНАЧЕННЯ ВИДИМОСТІ

НА ПЛОЩИНАХ ПРОЕКЦІЙ

Точки називаються конкуруючими, якщо їх проекції збігаються тільки на одній із площин проекцій. У залежності від того, які проекції збігаються, існують горизонтально, фронтально і профільно конкуруючі точки.

Конкуруючі точки на одній із площин проекцій зливаються в одну точку. Одна з точок, що зливаються, обов'язково знаходиться зверху, залишаючись видимою при розгляданні конкуруючих точок уздовж їхньої проекційної лінії на площині конкурування (у нашому випадку: точка А видима на П₁; точка С видима на П₂; точка М видима на П₃).

За допомогою конкуруючих точок дуже зручно визначати видимість ребер багатогранника, тому що немає необхідності представляти в просторі багатогранник, а досить вибрати конкуруючі точки на підозрілих (по видимості) ребрах багатогранника і застосувати розроблене правило.

Приклад. Задано чотири вершини тетраедра

SАВС (рис. 4) на кресленні Г. Монжа. Оформити креслення з урахуванням видимості ребер.

Оформлення видимості на г. п. п. П₁:

Окреслення поверхні тетраедра завжди бачимо, отже, його обводимо контурною замкнутою ламаною лінією А₁В₁S₁C₁A₁. Невидимим на горизонтальній площині проекцій П₁ може бути тільки одне з ребер ВС або АS. На цих ребрах є дві конкуруючі точки (точка 1 на ребрі AS і точка 2 на ребрі ВС). Оскільки точка 2 на П₁ невидима і належить ребру ВС, то В₁С₁ проводимо штриховою лінією, А₁S₁ – суцільною основною.

Оформлення видимості на ф.п. п. П₂:

Окреслення А₂В₂С₂S₂A₂ наводимо суцільною основною лінією. На двох ребрах, що залишилися, АС і BS вибираємо дві конкуруючі точки 3 і 4 (3ÎBS, 4ÎAC). З двох конкуруючих точок 3 і 4, точка 4 має меншу глибину, отже, ребро АС, якому належить точка 4, на П₂ буде невидимим. Проекцію А₂С₂ проводимо штриховою лінією.

1.2.4. ЗАДАННЯ ПЛОЩИНИ.

Як відзначалося раніше (лекція 3), площина визначається симплексом (три не приналежні одній прямій точки) і алгоритмом задання поточної її точки. У нарисній геометрії прийнято три точки з'єднувати в трикутник, а поточну точку площини будувати за допомогою прямих приналежних площини (рис. 5).

Точка М (М₁, М₂) у площині трикутника АВС будується за допомогою прямої А1. Точка А належить площині АВС, як вершина цього трикутника, точка 1 - як приналежна прямій СВ. Тоді вся пряма А1 із усіма її точками (включаючи М) належить площині. На практиці для побудови проекцій М Ì АВС одна з проекцій (наприклад М₁) або вибирається довільно, або за умовою задана, другу проекцію (у нашому випадку М₂) графічно будують за допомогою наступного алгоритму.

Графічний алгоритм побудови відсутньої проекції точки, що належить площині.

1. Через задану проекцію (наприклад М₁) шуканої точки М проводиться довільна допоміжна пряма так, щоб дві її точки належали геометричним елементам, що визначають задану площину, (у нашому випадку точка А і точка 1Î ВС).

2. Визначається друга проекція допоміжної прямої (на рис.5 - А₂1₂).

3. По лінії проекційного зв'язку, на проекції побудованої в п.2 фіксується шукана відсутня проекція точки приналежної площині.

Слід зазначити, що вибір допоміжної прямої п.1 алгоритму довільний, а шукана точка площини при цьому визначається однозначно.

Площина в інженерній практиці може ще визначатися:

1. Не тільки трикутником, але і будь-якою плоскою фігурою.

2. Прямою і точкою, не приналежною прямїй.

3. Двома паралельними або перетинними прямими.

Розв'язання багатьох задач із площинами значно спрощується в тому випадку, якщо прямі, що визначають площину, є лініями рівня або що проеціюються. Нарисна геометрія особливо виділяє два випадки задання площини:

1. Лініями рівня – перетинні горизонтальні та фронтальні прямі.

2. Слідами – лінії рівня, що належать площинам проекцій.

1.2.5. ГОЛОВНІ ЛІНІЇ ПЛОЩИНИ

У площині знаходиться двохпараметрична множина прямих, серед яких нарисна

геометрія виділяє як головні:

1. Горизонталь h площини – горизонтальна пряма, що належить площині.

2. Фронталь f площини – фронтальна пряма, що належить площині.

3. Лінія найбільшого нахилу до П₁ Û лінія схилу площини – лінія, що належить площині і перпендикулярна її горизонталям.

4. Лінія найбільшого нахилу до П₂ – лінія, що належить площині і перпендикулярна фронталям площини.

Горизонталь і фронталь площини настільки часто зустрічаються в нарисній геометрії при розв'язанні практичних задач, що одержали не тільки власні імена, але й особливі літерні позначення: h і f.

Лінії найбільшого нахилу спільно зі способом прямокутного трикутника дуже зручно використовувати для визначення кута нахилу площини до площин проекцій.

Задача. Визначити кут нахилу площини, заданої слідами, до горизонтальної площини проекцій П₁.

2₁

1₁

Розв'язання задачі (рис. 8) представлено для різних варіантів положення площини a(h^a, f^a).

Причому 1₁2₁ ^ h^a; знаками Ì, o зазначені довжини катетів проти яких у прямокутному трикутнику визначений шуканий кут φ.

1.2.6. ПЛОЩИНИ ОКРЕМОГО ПОЛОЖЕННЯ

Площини, як і прямі щодо площин проекцій можуть займати окреме положення. Розрізняють два види площин окремого положення:

1. Площини рівня:

· Горизонтальна площина;

· Фронтальна площина;

· Профільна площина.

2. Площини, що проекціюються:

· Горизонтально-проекціююча площина;

· Фронтально-проекціююча площина;

· Профільно-проекціююча площина.

Визначимо ці площини трикутником і зобразимо їх проекції. Відзначимо, що будь-які плоскі фігури, розташовані в площині рівня, не спотворюються на відповідній площині проекцій. Отже, для визначення натуральних величин плоских фігур необхідно їх розташувати в положення площини рівня. Площини, що проекціюються, спотворюються на площинах проекцій, але вони так само дуже корисні для розв'язання практичних задач по двох основних причинах:

1. Можна простим виміром визначити кут нахилу проекціюючої площини до площини проекцій.

2. Усе, що знаходиться в проекціюючої площині, проекціюється на відповідну площину в пряму лінію (збірна властивість проекціюючої площини).

Нами розглянута (рис. 9) не нескінчена площина, а трикутний її відсік АВС. На практиці приходиться часто мати справу з фігурами розташованими у не обмеженій відсіком площині. Для задання такої площини досить однієї її проекції-лінії (рис. 10).

Вправи по багатограннику (див. Пункт 1.1.4).

· Виконати аналіз взаємного положення ребер багатогранника.

· Виконати аналіз граней цього багатогранника.

· Відзначити натуральні відстані і кути між геометричними формами в багатограннику.

1.3. ВЗАЄМНЕ ПОЛОЖЕННЯ ПРЯМОЇ ТА ПЛОЩИНИ І ДВОХ ПЛОЩИН

1.3.1. ПАРАЛЕЛЬНІСТЬ ПРЯМОЇ І ПЛОЩИНИ. ПАРАЛЕЛЬНІСТЬ ДВОХ ПЛОЩИН

Умова паралельності прямої і площини:

Задана пряма паралельна заданій площині тоді і тільки тоді, коли в цій заданій площині існує пряма, паралельна заданій прямій.

На підставі цієї умови розв'язуються задачі зв'язані з паралельністю прямої і площини. Розглянемо приклади:

Задача 1. Через пряму а провести площину a (а ´?) паралельнузаданій прямій m.

Аналіз задачі:

З умови задачі випливає, що розв'язання її зводиться до побудови деякої прямої b. Далі, з умови паралельності прямої і площини, випливає, що шукана площина повинна містити пряму рівнобіжну m. Отже, розв'язання задачі зводиться до проведення прямої b ïï m (b₁ïïm₁, b₂ïïm₂), що перетинає a у деякій довільній точці АÎ а (рис. 1а).

Розв'язання задачі 1 (рис. 1а).

1. На одній із проекцій прямої а (наприклад на а₂) вибираємо точку (див. на рис. т. А₂).

2. В точці перетину лінії проекційного зв'язку з проекцією a₁ прямої a знаходимо А₁

3. Через точку А(А₁, А₂) Î а (а₁,а₂) проводимо пряму b (b₁, b₂) паралельну прямій m (b₁|| m₁, b₂|| m₂).

4. Шукана площина a (а ´ b) паралельна прямій m тому, що вона містить пряму b || m.

Задача 2. Перевірити, чи паралельна площина a(АВС) прямій n, (рис. 1б).

Аналіз задачі:

Перевірка прямої n на паралельність площині a(АВС) відповідно до умови пара-лельності прямій і площини зводиться до знаходження в площині a прямій с паралельнійпрямій n.

1.3.2. ПЕРПЕНДИКУЛЯРНІСТЬ ПРЯМОЇ І ПЛОЩИНИ. ПЕРПЕНДИКУЛЯРНІСТЬ

ДВОХ ПЛОЩИН

Умова перпендикулярності прямої площини в просторі

ПРЯМА ПЕРПЕНДИКУЛЯРНА ПЛОЩИНІ В ПРОСТОРІ ТОДІ І ТІЛЬКИ ТОДІ, КОЛИ ВОНА ПЕРПЕНДИКУЛЯРНА ДВОМ ПЕРЕТИННИМ ПРЯМИМ ЦІЄЇ ПЛОЩИНИ.

На підставі цієї умови в попередній лекції нами розроблена

Умова перпендикулярності прямої і площини на кресленні

ПРЯМА ПЕРПЕНДИКУЛЯРНА ПЛОЩИНІ, ЯКЩО ЇЇ ГОРИЗОНТАЛЬНА ПРОЕКЦІЯ ПЕРПЕНДИКУЛЯРНА ГОРИЗОНТАЛЬНІЙ ПРОЕКЦІЇ ГОРИЗОНТАЛІ, А ЇЇ ФРОНТАЛЬНА ПРОЕКЦІЯ ПЕРПЕНДИКУЛЯРНА ФРОНТАЛЬНІЙ ПРОЕКЦІЇ ФРОНТАЛІ.

Ця умова легше сприймається в символічній формі запису:

d ^ a Û (d₁ ^ h₁) + (d₂ ^ f₂).

Умова перпендикулярності двох площин

ДВІ ПЛОЩИНИ ВЗАИМНО-ПЕРПЕНДИКУЛЯРНІ ТОДІ І ТІЛЬКИ ТОДІ, КОЛИ ОДНА З ЦИХ ПЛОЩИН МІСТИТЬ ПЕРПЕНДИКУЛЯР ДО ІНШОЇ ПЛОЩИНИ.

Ця умова є конструктивною, вона дозволяє розв’язувати практичні задачі пов’язані з перпендикулярними площинами.

Задача 3. Визначити чи перпендикулярні площини, сліди яких взаємно перпендикулярні.

Відповідь: ні, такі площини не перпендикулярні. Для доказу цього твердження з точки перетину слідів однієї з площин (рис. 2) проведемо пряму d перпендикулярну іншій площині. Проекції d₁, d₂ збігаються зі слідами h^a, f^a, а це означає, що площина a не містить прямої d ^ b і, за умовою перпендикулярності двох площин випливає запропонована негативна відповідь.

Задача 4. Через пряму а провести площину b(а ´?) перпендикулярну площині a(АВС).

Пряма d, що повинна визначити площину b(а ´ d) може збігатися з перпендикуляром до заданої площини a(АВС).

1.3.3. ПЕРЕТИН ПРЯМОЇ І ПЛОЩИНИ

Цей розділ займає особливе (центральне) положення в нарисній геометрії, насамперед тому, що задача, що буде поставлена і розв’язана настільки важлива в практичних додатках, що одержала власне найменування “Перша основна позиційна задача курсу нарисної геометрії”. З іншого боку, при розв’язанні цієї задачі нами вперше буде застосований один із двох основних методів нарисної геометрії “Метод посередників”.

Перша основна позиційна задача курсу нарисної геометрії:

ПОБУДУВАТИ ТОЧКУ ПЕРЕТИНУ ПРЯМОЇ І ПЛОЩИНИ.

Пряма і площина, відносно одне одного, можуть займати кожне з трьох положень. Пряма, або належить, або паралельна або перетинає площину. Для визначення того, яке з цих положень має місце в конкретному випадку, а також визначення точки перетину прямої і площини, якщо така існує, використовується спосіб площин-посередників. Сутність способу полягає в наступному:

· Будується допоміжна площина-посередник, утримуюча задану пряму.

· Визначається лінія перетину площини-посередника з заданою площиною.

· Далі проводиться аналіз взаємного положення двох прямих ліній (заданої прямої і отриманої лінії перетину). У результаті цього аналізу з'ясовується, який із трьох випадків має місце:

1. Якщо ці лінії збігаються, то задана пряма належить заданій площині.

2. Якщо ці лінії паралельни, то задана пряма паралельна заданій площині.

3.
Якщо ці лінії перетинаються, то точка їх перетину є точкою перетину заданої прямої і заданої площини.

На (рис. 3) графічно зображені ці три випадки для площини a(АВС) і прямої МN.

Почнемо з складання плану (послідовності) її розв’язання:

1. Через пряму проводимо допоміжну площину-посередник (зручніше проекціюючу).

2. Знаходимо лінію перетину допоміжної площини з заданою.

3. Відзначаємо точку перетину знайденої лінії перетину з заданою прямою.

4. За допомогою конкуруючих точок визначаємо видимість прямої

Рис.4

На (рис 4) графічно відбиті етапи 1 – 4 визначення точки перетину відсіку площини АВСD і прямої m.

ПЕРЕТИН ДВОХ НЕПРОЗОРИХ ПЛАСТИН.

Першу основну позиційну задачу курсу нарисної геометрії зручно використовувати при побудові відрізка перетину двох непрозорих пластин. Для цього необхідно:

· Вибрати в одному з заданих плоских відсіків відрізок (найчастіше він входить у задання цього відсіку).

· Визначити точку перетину обраного відрізка з іншим відсіком. Якщо знайдена точка перетину знаходиться поза відрізком, то (як правило) повертаються до попереднього пункту (вибирають іншу пряму в першому відсіку). Якщо жоден з відрізків першого відсіку площини не перетинає другий відсік площини, то робимо висновок, що вони не перетинаються (площини перетинаються поза відсіками або паралельні).

· Визначити, таким способом, дві точки. За допомогою двох точок лінії перетину площин визначаємо відрізок перетину відсіків.

· За допомогою конкуруючих точок визначаємо видимість. Оформляємо креслення з урахуванням видимості.

Розглянемо приклад розв’язання задачі для побудови відрізка перетину двох трикутних пластин.

Точка М(М₁, М₂) перетину відрізка АВ Î a(АВС) із площиною b(DEF) визначена за допомогою площини-посередника s (s₂). Точка N(N₁, N₂) перетину відрізка EFÎ b(DEF)

з площиною a(АВС) визначена за допомогою площини-посередника t (t₁). Відрізок MN визначає лінію перетину непрозорих трикутних відсіків АВС і DEF.

1.3.4. СПОСІБ ПЛОЩИН - ПОСЕРЕДНИКІВ ПРИ ВИЗНАЧЕННІ ЛІНІЇ

ПЕРЕТИНУ ДВОХ ПЛОЩИН

У випадку, коли задані не плоскі пластини, а нескінченні площини говорять не про перетин площин по відрізку, а по прямій лінії. Пряму визначають будь-які її незбіжні точки, причому ці точки не обов'язково повинні належати прямим, що визначають площину.

У цьому випадку застосовується спосіб площин-посередників у самому загальному вигляді.

Алгоритм побудови лінії перетину двох площин способом площин посередників:

1. Задані площини a і b розсікаємо допоміжною площиною посередником s (зручніше щоб s на одній із площин проекцій проекціювалася в пряму лінію).

2. Визначаємо лінію перетину площини a і площини s (для спрощення виконання цього пункту і було запропоновано використовувати площину окремого положення, як посередника s).

3. Будуємо лінію перетину другої заданої площини b з посередником s (випадок, коли посередник s проходить через одну із прямих площини b, ми мали при побудові лінії перетину непрозорих пластин).

4. Відзначаємо точку перетину знайдених у пп. 3, 4 ліній перетину заданих площин a і b з посередником s (може виявитися, що лінії перетин паралельни, але площини не обов'язково паралельни). Можно просто довести, що отримана точка одночасно належить a і b, а отже є лінією їх перетину.

5. Аналогічно за допомогою ще одного посередника t визначають другу точку, що належить шуканій лінії перетину (зручно, якщо одна точка лінії перетину визначена за допомогою посередника s, вибирати t || s).

6. З'єднуємо побудовані точки прямою лінією перетину площин. Видимість, при цьому, не визначається, тому що нескінченні площини не передбачаються непрозорими.

На (рис. 6) зображений наочний схематичний рисунок, що може бути корисним для запам'ятовування алгоритму побудови лінії перетину площин, а також практичний приклад визначення лінії MN= a(a || b) ´ b(h^° ´ f^°).

1.3.5. Матеріали для підготовки до контрольної роботи № 1

РОЗДІЛ 2. СПОСОБИ ПЕРЕТВОРЕННЯ КОМПЛЕКСНОГО КРЕСЛЕННЯ

2.1. ПЕРЕТВОРЕННЯ ПРОЕКЦІЙ ТА ЙОГО ЗНАЧЕННЯ В НАРИСНІЙ ГЕОМЕТРІЇ.

ЧОТИРИ ОСНОВНІ ЗАДАЧІ ПЕРЕТВОРЕННЯ ПРОКЦІЙ.

ПОЛОЖЕННЯ ГЕОМЕТРИЧНИХ ОБРАЗІВ ПРИ ЯКИХ ВІДСТАНІ

І КУТИ НЕ СПОТВОРЮЮТЬСЯ НА ПЛОЩИНІ ПРОЕКЦІЙ.

Якщо прямі і площини займають окреме положення щодо площин проекцій (паралельні або перпендикулярні), то площі, відстані і кути не спотворюються. Отже, якщо необхідно визначити подібні метричні характеристики, то можна перетворити проекції геометричної форми до потрібного окремого положення, при якому потрібну метричну характеристику визначають простим виміром на тій площині проекцій, де ця характеристика не спотворюється. Приведемо положення деяких геометричних форм із неспотворенними метричними характеристиками (рис. 1).

Для приведення геометричних форм із загального в необхідне окреме положення використовують способи перетворення проекцій. До способів перетворення проекцій відносяться:

· Плоскопаралельне переміщення (ППП).

· Обертання навколо осей перпендикулярних площинам проекцій.

· Заміна площин проекцій (скорочено ЗПП).

· Обертання навколо ліній рівня.

· Спосіб суміщення

· Спосіб допоміжного проектування.

Способи ППП і ЗПП є основними способами перетворення проекцій, а решта – додатковими. ППП і ЗПП є рівноцінними по можливостях, які вони надають при рішенні всіляких задач нарисної геометрії. Додаткові способи застосовуються більш спеціалізовано, тому що кожен з них найбільш ефективний при розв`язанні свого, спеціального класу задач. Ця спеціалізація буде виділена при викладі кожного із способів перетворення проекцій.

ЧОТИРИ ОСНОВНІ ЗАДАЧІ ПЕРЕТВОРЕННЯ ПРОЕКЦІЙ.

Для успішного розв`язання задач нарисної геометрії з застосуванням способів перетворення проекцій виникла необхідність виділити деякі задачі перетворення геометричних форм і особисті позначення для них (дати їм імена):

1. Задача №1. Лінія натуральна (ЛН):

Приведення прямої із загального положення в положення прямої рівня.

2. Задача №2. Лінія - точка (ЛТ):

Приведення прямої в проекціююче положення.

3. Задача №3. Площина - лінія (ПЛ):

Приведення площини із загального положення в проекціююче.

4. Задача №4. Площина натуральна (ПН):

Приведення площини в положення площини рівня.

Методика розв`язаннязадач нарисної геометрії з використанням перетворення проекцій

Щоб використовувати перетворення проекцій для розв`язання конкретно заданої задачі, необхідно

· представити в якому окремому положенні повинні знаходитися геометричні об'єкти цієї задачі для того, щоб відповідь задачі можна одержати на одній із проекцій дуже просто (наприклад, застосовуючи простий вимір). Деякі з подібних положень приведені на рисунку (рис. 1).

· Відзначити яке з чотирьох положень ЛН, ЛТ, ПЛ або ПН необхідно для безпосереднього розв`язання задачі.

· Перетворенням проекцій привести задачу до цього окремого положення. Виділити на перетвореній проекції відповідь задачі.

2.2. ПЛОСКОПАРАЛЕЛЬНЕ ПЕРЕМІЩЕННЯ (ППП) - ОДИН ІЗ СПОСОБІВ ПЕРЕТВОРЕННЯ ПРОЕКЦІЙ.

Якщо геометричний об'єкт переміщати в системі площин проекцій так, щоб одна з координат кожної точки його не змінювала своєї величини, то таке переміщення називається плоскопаралельним. Кожна точка об'єкта переміщається по деякій траєкторії розташованої в площині рівня (горизонтальній або ф

Дата добавления: 2014-01-04