Система двух дискретных случайных величин

До сих пор в курсе рассматривались случайные величины, каждое значение которых определяется одним числом. Такие случайные величины иногда называют одномерными.

Кроме одномерных случайных величин существуют случайные величины, значения которых определяются парой чисел. Такие случайные величины называют двумерными и обозначаются Двумерную случайную величину можно рассматривать, как систему двух случайных величин и , каждую из которых при этом называют составляющей двумерной случайной величины.

Рассмотрим сначала случай, когда случайные величины и , составляющие двумерную случайную величину, является дискретными.

Законом распределения дискретной случайной величины называют перечень возможных значений этой величины, то есть пар () и их вероятностей .

Закон распределения показан в таблице 4.2.1:

Таблица 4.2.1

			…
			…
			…
…	…	…	…	…	…
			…
			…

Запишем условие нормировки закона распределения двумерной случайной величины. Учитывая, что события при условии ; образуют полную группу несовместных событий, получим, что . Практически это означает, что сумма вероятностей, содержащихся во всех клетках таблицы 4.2.1, составляет 1.

Поставим задачу определения законов распределения составляющих и на основе двумерного закона распределения. Рассмотрим вероятность . Событие можно представить как сумму несовместных событий ,…. Поэтому:

, что означает, что равна сумме элементов соответствующей -ой строки таблицы 4.1.

Используя аналогичные рассуждения, получим:

, то есть вероятность равна сумме элементов соответствующего j-го столбца таблицы 1.1

Пример 4.2.1. Найти законы распределений составляющих двумерной случайной величины, заданной законом распределения:

Таблица 4.2.2

	0,2	0,3	0,5
	0,3	0,2	0,5
	0,5	0,5

Решение:

Вероятности, определяющие закон распределения составляющей , представлены в крайнем правом столбце таблицы 4.2.2

Аналогично вычисляется закон распределения составляющей (нижняя строка таблицы 4.2.2).

Определим понятие независимости двух случайных величин и . Ранее независимость двух случайных величин определялась как независимость распределения одной случайной величины от значения, которое принимает другая случайная величина.

Для дискретных независимых случайных величин события и - независимые события для всех возможных значений и . Поэтому, две дискретные случайные величины независимы, если для всех возможных значений и :

.

Например, случайные величины и , закон распределения которых приведен в таблице 4.2.3, независимы.

Таблица 4.2.3

	0,08	0,12	0,2
	0,24	0,42	0,8
	0,4	0,6

Рассмотрим две случайные величины , и оценим степень зависимости между этими случайными величинами. Существуют два крайних случая: с одной стороны, случайные величины могут быть независимыми, с другой стороны зависимость между двумя случайными величинами может быть функциональной, то есть по значению одной случайной величины можно однозначно определить значение другой случайной величины. Обычно, для произвольных случайных величин степень зависимости занимает некое промежуточное между перечисленными случаями значение.

Например, если - оценка, полученная студентом на экзамене по некоторому предмету, а - число лекций, которые он посетил, то случайные величины и . имеют некоторую зависимость.

Поставим задачу оценки зависимости (или степени связи) двух случайных величин и . Рассмотрим центральный смешанный момент двух случайных величин и :

, называемый коэффициентом ковариации, или коэффициентом связи, двух случайных величин.

Заметим, что формула для коэффициента ковариации может быть преобразована к более простому виду: . Применим этот коэффициент для оценки связи двух случайных величин. Однако величина зависит от единиц измерения случайных величин и , и поэтому сама по себе не может служить оценкой связи случайных величин и .

Рассмотрим стандартные случайные величины ; , где , , , . Данные случайные величины представляют собой нормированные отклонения, записанные для исходных случайных величин.

Тогда:

=,

а величина называется коэффициентом корреляции пары случайных величин.

Пример 4.2.2. Найти коэффициент корреляции для случайных величин, заданных таблицей 4.2.2.

Решение:

Воспользуемся для вычисления коэффициента корреляции формулой: . Учитывая, что распределения составляющих и вычислены, получим:

;

;

.

;

;

.

;

.

Используя коэффициент ковариации можно записать формулу для дисперсии суммы (разности) произвольных случайных величин и :

Записывая последнюю формулу для стандартных величин и и учитывая, что дисперсия случайной величины не может быть отрицательной, получим:

;

.

Решая эту систему неравенств относительно , получим свойство коэффициента корреляции:

Если для двух случайных величин коэффициент корреляции =0, то величины называются некоррелированными, и коррелированными в противном случае.

Рассмотрим связь независимости и некоррелированности случайных величин.

Для независимых случайных величин коэффициент корреляции =0, т.к. и , то есть из независимости двух случайных величин следует их некоррелированность.

Обратного заключения сделать нельзя. Случайные величины могут быть даже связаны функциональной зависимостью, оставаясь при этом некоррелированными.

Пусть, например, случайная величина распределена симметрично относительно начала координат (при этом ), а случайная величина . Тогда в силу симметрии распределения случайной величины : и две случайные величины и некоррелированы, несмотря на функциональную зависимость между ними.

Рассмотрим соотношение между двумя случайными величинами, при котором коэффициент корреляции .

Пример 4.2.3.. Доказать, что если случайные величины связаны линейной зависимостью , то коэффициент корреляции .

Решение: Пусть .

Тогда: ,

.

Справедливо и обратное утверждение: если коэффициент корреляции , то случайные величины связаны линейной зависимостью.

Таким образом, коэффициент корреляции «отслеживает» самый простой вид зависимости между двумя случайными величинами – линейную зависимость. Чем ближе к 1 модуль коэффициента корреляции, тем лучше зависимость случайной величины от аппроксимируется линейной зависимостью и наоборот.

Обсуждая знак коэффициента корреляции, заметим, что коэффициент корреляции положителен, если при увеличении случайной величины случайная величина имеет тенденцию к увеличению. В этом случае прямая , аппроксимирующая зависимость между двумя случайными величинами, имеет положительный угловой коэффициент (а >0).

Дата добавления: 2014-01-04