Лекция 2. 1.7. Поток вектора напряженности электрического поля

1.7. Поток вектора напряженности электрического поля. Теорема Гаусса

Поток вектора напряженности электрического поля через некоторую площадку S (рис. 1.7) равен числу силовых линий, пересекающих эту площадку.

α

dS

Рис. 1.7

Количество пересекаемых площадку силовых линий зависит от ориентации площадки в пространстве, определяемой вектором нормали .

Через малую площадку dS, в пределах которой линии параллельны, поток вектора

, (1.10)

где угол между векторами и .

Поток вектора через произвольную поверхность S

, (1.11)

Для однородного электрического поля

. (1.12)

В качестве примера рассчитаем поток через сферическую поверхность S, в центре которой находится точечный заряд q (рис. 1.8).

dS

+q

R S

Рис. 1.8

Выберем на сфере бесконечно малую площадку dS. Вектор нормали направим вне сферы S. В любой точке площадки dS (и сферы S) вектор параллелен вектору , а его модуль

(1.13)

Поток вектора напряжённости

,

, (1.14)

Где , ,

Подставим в 1.14 ,

тогда

, (1.15)

Для общего случая, когда произвольная по форме замкнутая поверхность окружает произвольную по форме систему зарядов (рис. 1.9). поток вектора напряжённости

, (1.16)

где Q -алгебраическая сумма зарядов, - абсолютная диэлектрическая проницаемость.

Определение потока N_E в виде соотношения 1.16. называется теоремой Гаусса, а поверхность окружающая заряды – гауссовой.

Теорема Гаусса: полный поток вектора напряженности через замкнутую поверхность произвольной формы численно равен алгебраической сумме зарядов, заключенных внутри этой поверхности, поделенной на абсолютную диэлектрическую проницаемость.

1.8. Работа и энергия электрического поля

Электрическое поле, действуя на заряды. Совершает механическую работу.

Рассмотрим поле, созданное положительным точечным зарядом q, в котором перемещается точечный заряд q₊ по траектории из точки 1 в точку 2. (рис.1.9)

2

А

α

q+ α d₂

β

q

β≈0

dx→0 Рис 1.9

Работа, совершаемая электрическим полем на элементарном участке dx траектории движения заряда

, (1.17)

где: .

Работа на участке траектории 1, 2 определится в результате интегрирования

(1.18)

Работа электрического поля не зависит от формы траектории движения заряда от точки 1 к точке 2. Точно такими же свойствами обладает и гравитационное поле, где действует консервативная сила тяжести. Следовательно, сила электрического взаимодействия между зарядами есть консервативная сила, а электрическое поле – потенциально. Работа консервативных сил, действующих на тело, равна убыли потенциальной энергии.

Для электрического поля

(1.19)

где:

, (1.20)

есть потенциальная энергия электрического поля, а С – постоянная интегрирования, которая зависит от выбора точки в пространстве, в которой потенциальная энергия заряда условно полагается равной нулю.

1.9. Потенциал электрического поля

Разные по величине заряды в одной и той же точке электрического поля обладают разными потенциальными энергиями. Однозначной характеристикой электрического поля будет соотношение:

, (1.21)

которое называется потенциалом электрического поля.

Потенциал данной точки электрического поля – это скалярная физическая величина, характеризующая энергетическое состояние поля в рассматриваемой точке и численно равная потенциальной энергии единичного точечного положительного заряда. помещенного в данную точку. За единицу потенциала в системе СИ принимается один вольт.(1 В). Это потенциал такой точки поля, в которой заряд в 1 Кл обладает потенциальной энергией в 1 Дж.

Отношение работы электрического поля на участке 1, 2 траектории к движущемуся заряду

(1.22)

Работа, совершаемая силами электрического поля при перемещении заряда. равна произведению величины этого поля на разность потенциалов в начальной и конечной точках траектории.

Если заряд из точки 1 удаляется в бесконечность, то в ней напряженность и потенциальная энергия электрического поля равны нулю, а затраченная работа

, (1.23)

а потенциал в точке 1

. (1.24)

Потенциал данной точки электрического поля численно равен работе, которую нужно совершить при перемещении единичного положительного заряда по любому пути из данной точки в бесконечность.

Для графического изображения распределения потенциала в электрическом поле используют понятие эквипотенциальных поверхностей, которая представляет собой совокупность всех точек пространства, имеющих одно и то же значение потенциала, т.е. по всей эквипотенциальной поверхности .

90^o

φ=const

Рис.1.10

Особенностью любой эквипотенциальной поверхности является то, что силовые линии электрического поля всегда пересекают эквипотенциальную поверхность по нормали к ней.

1.10. Связь между напряженностью и потенциалом электрического поля

Электрическое поля в любой его точке определяется напряженностью и потенциалом . Рассмотрим электрическое поле. созданное точечным положительным зарядом (рис. 1. 11). z Рис. 1.11

dx

q

y x

Работа электрического поля по перемещению заряда в направлении оси Х с эквипотенциальной поверхности на эквипотенциальную поверхность :

,

.

Из последних двух равенств следует, что:

. (1.25)

Так как напряженность и потенциал поля изменяются в направлении всех трех координатных осей, то:

, (1.26)

где величина, стоящая в скобках, называется градиентом потенциала и обозначается или. Тогда

; . (1.27)

Градиент потенциала – это вектор, указывающий направление наиболее быстрого возрастания потенциала в пространстве и численно равный изменению потенциала на единицу длины этого направления. Вектор градиента потенциала направлен к эквипотенциальной поверхности в сторону, противоположную вектору напряженности электрического поля.

Согласно определению градиента потенциала, в системе СИ напряженность электрического поля измеряется в вольт/метр, В/м.

1.11. Проводники в электрическом поле

Проводниками называются тела, в которых электрические заряды способные перемещаться под действием сколь угодно слабого электрического поля.

Электрическими зарядами в проводнике могут быть заряды, принесенные из вне путем электризации, и, микроскопические заряды, из которых состоят атомы и молекулы проводника (электроны, ионы). Проводниками являются все металлы, а так же электролиты и ионизированные газы.

При помещении незаряженного проводника во внешнее электрическое поле напряженностью свободные положительные микроскопические заряды будут перемещаться к его поверхности в направлении , отрицательные – против . В результате на одном конце проводника скопится избыточный положительный заряд, на другом – отрицательный (рис. 1. 12).

q

-q +q

Рис. 1.12

Заряды на противоположных концах проводника называются индуцированными или наведенными, которые создают собственное электрическое поле , направленное от избыточных положительных к избыточным отрицательным зарядам, т.е. противоположное внешнему полю . Причем заряды в проводнике будут разделяться внешним полем до тех пор, пока результирующее поле в проводнике не будет равно нулю.

Возникновение индуцированных (наведенных) зарядов на проводнике, помещенном в электрическое поле, используется для зарядки проводников при помощи так называемых электрических индукционных машин. Отсутствие поля внутри проводника, помещенного в электрическое поле, широко применяется в технике для электростатической защиты от внешних электрических полей (экранирования) различных электрических приборов и проводников.

1.12. Диэлектрики в электрическом поле

В идеальном диэлектрике нет свободных зарядов, способных под действием электрического поля перемещаться через весь диэлектрик. Атомы и молекулы диэлектрика содержат равные количества положительных и отрицательных микроскопических зарядов и в целом электрически нейтральны. Под действием электрического поля в молекулах диэлектрика происходит перераспределение зарядов, создающее поляризацию диэлектрика. Эффект поляризации заключается в том, что весь объем диэлектрика приобретает электрический момент.

В зависимости от строения вещества диэлектрика существуют три типа поляризации.

1. У диэлектриков (парафин, бензол, водород, азот и др.) во внешнем электрическом поле «центры тяжести» положительных и отрицательных зарядов молекул смещаются в противоположные стороны на некоторое расстояние , малое по сравнению с размерами молекулы (рис.1.13.).

+q + _ -q

+ _

Рис. 1.13

Каждая молекула приобретает дипольный электрический момент:

(1.28)

который пропорционален напряженности внешнего поля . При снятии внешнего поля дипольные моменты дезориентируются и электричексий момент диэлектрика исчезает.

2. У таких диэлектриков, как вода, натробензол и др. “центры тяжести” положительных и отрицательных зарядов молекулы не совпадают даже при отсутствии внешнего электрического поля (рис.1.14).

+

α

_

Рис.1.14

Вследствие теплового движения, дипольные электрические моменты ориентируются хаотично и в сумме создают нулевой электрический момент. При помещении такого диэлектрика в однородное внешнее поле на каждый диполь молекулы будет действовать электрическая сила , поворачивающая его вдоль поля.

Хаотичное тепловое движение препятствует ориентации диполей вдоль поля и вновь располагает их под самыми различными углами α к направлению поля. В результате этих противоположных воздействий среднее значение проекции дипольного момента молекулы на направление поля будет отличным от нуля, пропорционально абсолютной температуре Т.

3. У кристаллических диэлектриков (хлористый натрий, хлористый калий и др.) при внесении их в электрическое поле происходит смещение положительных и отрицательных ионов. что образует дипольный момент, направленный вдоль внешнего поля и пропорциональный . В рассмотренных трех видах диэлектриков поляризации приводит к уменьшению напряженности поля. Эффект поляризации можно учесть с помощью относительной диэлектрической проницаемости

, (1.29)

где , Е – напряженность внешнего поля в вакууме. Рассмотрим поляризацию диэлектрической пластинки в однородном электрическом поле напряженности

В результате поляризации пластинка приобретает дипольный момент, являющийся суммой дипольных моментов всех молекул диэлектрика в данном объеме , где S – площадь грани пластинки

d – Толщина пластинки

. (1.30)

Дипольный момент единицы объема

(1.31)

называется вектором поляризации.

Вектор поляризации всегда направлен вдоль вектора напряженности внешнего электрического поля и пропорционален величине напряженности поля в диэлектрике:

, (1.32)

где х - диэлектрическая восприимчивость вещества.

В результате возникновения объемной поляризации на гранях диэлектрика образуются поляризационные или связанные заряды q с некоторой поверхностной плотностью

.

Образование поляризационных зарядов приводит к возникновению дополнительного внешнего поля , которое суммируется с внешним полем и создает поле диэлектрика

.

Напряженность дополнительного электрического поля в диэлектрике

.

Полный дипольный момент пластины диэлектрика, тогдамодуль вектора поляризации

Напряженность поля в диэлектрике

(1.33)

, (1.34)

где, - диэлектрическая восприимчивость

Вопросы и задания для самостоятельного изучения

Дата добавления: 2014-01-04