Лекция 7. 3.7. Циркуляция вектора индукции магнитного поля

3.7. Циркуляция вектора индукции магнитного поля. Закон полного тока

Интеграл называется циркуляцией вектора индукции магнитного поля по замкнутому контуру.

Для определения магнитной индукции с симметричным расположением витков с током вычисляется интеграл по замкнутому контуру вектора индукции магнитного поля .

Найдем интеграл для контура l произвольной формы, лежащего в плоскости, перпендикулярной к бесконечному линейному проводнику с током I (рис. 3.7а)

,

где - проекция вектора на направление обхода проводника с током на участке контура .

а б

Рис. 3.7

Из рис. 3.7а следует , где , т.к. угол - бесконечно малый.

Тогда

.

. (3.13)

Результат интегрирования не зависит от формы контура. Например, для контура в виде окружности радиусом (рис. 3.7б) циркуляция вектора индукции магнитного поля прямолинейного проводника с током I равна

.

Пусть теперь произвольный контур l охватывает проводников с токами различного направления (рис. 3.8), В этом случае, ,

Рис. 3.8

, (3.14)

где - проекция вектора индукции магнитного поля от -го проводника с током на участке контура , - полный ток, охватываемый контуром l.

Ток считается положительным, если направление линий индукции его магнитного поля совпадает с направлением обхода контура и отрицательным, если не совпадает. В случае, указанном на рис. 3.8

.

Соотношение (3.14) называют законом полного тока.

Если контур l охватывает N проводников с одинаковым током I, тогда в соответствии с равенствами (3.13)

. (3.15)

Для. самостоятельного изучения

3.8. Магнитное поле длинного соленоида

Равенство (3.15) можно применить для определения индукции магнитного поля в центре длинного соленоида, когда его длина L>>R (рис 3.6).

Пусть - число витков на участке соленоида (рис 3.9), по которому течет ток I. Для вычисления индукции магнитного поля внутри соленоида запишем закон полного тока для прямоугольного замкнутого контура АВСDА, используя соотношение (3.15) (3.16)

Рис. 3.9

Интеграл можно представить в виде суммы интегралов по участкам контура ABCDA

Первый интеграл в этой сумме равен Вl_AB, где l _АВ – длина участка АВ контура. Второй и четвертый интегралы равны нулю, так как вектор перпендикулярен векторам . Третий интеграл можно считать равным нулю, поскольку внешнее магнитное поле длинного соленоида практически отсутствует. Тогда

. (3.17)

Из сравнения равенств (3.16), (3.17) следует, что

.

Решая последнее уравнение, относительно получим:

, (3.18)

где - число витков на единице длины соленоида.

Следует отметить, что величина индукции магнитного поля не зависит от положения точки внутри соленоида, так как отрезок АВ не обязательно должен лежать на оси соленоида. Поле внутри длинного соленоида однородно, не зависит от формы витков, а направление его индукции параллельно оси соленоида.

3.9. Магнитное поле стержня с током

В стержне радиусом R течет постоянный ток с равномерно распределенной по сечению плотностью тока j. Определим зависимость индукции магнитного поля от расстояния, а от оси стержня.

Учитывая, что j = I/S, запишем полный ток в стержне

Вычислим модуль вектора индукцию магнитного поля внутри стержня. Для этого рассмотрим контур интегрирования в виде окружности радиусом (рис.3.10). Закон полного тока

, (3.19)

где - элемент площади S поперечного сечения стержня радиусом r.

После интегрирования левой и правой части равенства с учетом того, что плотность тока не изменяется, а индукция В каждой точке контура постоянна по модулю

,

.

Внутри стержня магнитное поле увеличивается с расстоянием от оси по линейному закону, достигая максимального значения на поверхности.

Для расчета магнитной индукции вне стержня возьмем контур интегрирования в виде окружности радиусом а>R. Закон полного тока запишем в виде

.

, так как индукция В в каждой точке контура l₂, постоянна по модулю, следовательно , a

(3.20)

Из сравнения соотношений (3.20) и (3.9) следует, что вне стержня магнитное поле оказывается таким, как если бы полный ток протекал по оси стержня. Зависимость модуля индукции магнитного поля от расстояния от оси стержня представлена на рис. 3.10.

Вопросы и задания для самопроверки

1. Что называют циркуляцией вектора индукции магнитного поля?

2. Дайте определение закона полного тока.

3. Запишите закон полного тока для контура, охватывающего проводник n раз?

4. Запишите закон полного тока для контура, охватывающего n проводников?

5.Определите циркуляцию по замкнутому контуру в виде

равностороннего треугольника, в центре которого, находится проводник с током I.

6. Составьте алгоритм расчета индукции магнитного поля с помощью

вычисления интеграла .

7. Определите зависимость индукции магнитного поля от

расстояния от оси стержня радиусом 10 см, по которому течёт ток I=1A.

3.10. Сила Лоренца

Опытным путем установлено, что на заряд q, движущийся со скоростью в магнитном поле с индукцией , действует сила

. (3.21)

Эта сила была названа силой Лоренца. Модуль вектора силы определяется

, (3.22)

где - угол между векторами и .

Из уравнений (3.21) и (3.22) следует три важных вывода, связанных с величиной и направлением силы :

а) сила Лоренца в магнитном поле действует только на движущиеся заряды, т. е. если заряд q покоится (=0), то =0;

б) сила Лоренца всегда перпендикулярна векторам и , т.е. ; (рис. 3.11). Векторы и . лежат в плоскости S, а сила перпендикулярна этой плоскости. Направление силы Fл зависит от знака заряда q и от взаимного расположения векторов и .

Рис. 3.11

Изменение знака заряда приводит к смене направления силы Лоренца на противоположное.

в) модуль силы Лоренца зависит от угла между векторами и , (рис. 3.12). В частности, если или , то . Это означает, что на заряды, движущиеся вдоль линий магнитного поля , не действует сила . Магнитное поле действует только на заряды, движущиеся под некоторым углом к его линиям индукции.	Рис. 3.12
Направление силы Лоренца можно определить по правилу левой руки: левую руку располагают так, чтобы силовые линии индукции входили в ладонь, четыре вытянутых пальца указывали направление движения положительного заряда, тогда отогнутый на большой палец указывает направление силы Лоренца (рис.3.13).	Рис. 3.13.

3.11. Закон Ампера

Если проводник с током I находится в магнитном поле, то на каждый его электрон (носитель тока) действует сила Лоренца

,

где – модуль заряда электрона, – скорость направленного движения электрона в электрическом поле проводника.

Сила Лоренца, действуя на носители тока в проводнике, перемещает его в магнитном поле. Найдем направление и модуль этой силы.

Выделим в проводнике c током I (рис.3.14.) элемент тока , а силу, действующую на него, представим в виде

,

где S – площадь поперечного сечения проводника, n-число носителей тока в единице объема проводника, S·dl·n – число носителей тока в объеме проводника длиной dl.

Произведение величин –- есть плотность тока , которая по модулю равна заряду, протекающему через единичное сечение проводника в единицу времени. В связи с этим последнее равенство можно записать в виде

Так как направления векторов и совпадают и, следовательно, , то

, (3.23)

где по определению плотности тока.

Сила называется силой Ампера и обозначается . Модуль вектора силы Ампера , (3.24) где - угол между векторами и .(рис.3.14)

Рис. 3.14.

Элементарная сила направлена перпендикулярно плоскости, в которой лежат векторы и . Сила, действующая на проводник длиной , определяется в результате интегрирования по всей длине проводника

.

Направление силы Ампера можно определить по правилу левой руки. Левую руку располагают так, чтобы силовые линии магнитного поля входили в ладонь, четыре вытянутых пальца указывали направление тока в проводнике, тогда отогнутый на большой палец указывает направление силы Ампера (рис. 3.15).

Рис. 3.15

Вопросы и задания для самопроверки

1. Что называют циркуляцией вектора индукции магнитного поля?

2. Дайте определение закона полного тока.

3. Назовите условия возникновения силы Лоренца.

4. Как определить направление и модуль силы Ампера?

5.Запишите правило левой руки для определения направления силы Лоренца и Ампера.

Дата добавления: 2014-01-04