Лекция 6. Проводник с током представляет собой электрически нейтральную систему зарядов, в которой заряды одного знака движутся в одну сторону

ГЛАВА 3. ЭЛЕКТРОМАГНЕТИЗМ

3.1. Магнитное поле

Проводник с током представляет собой электрически нейтральную систему зарядов, в которой заряды одного знака движутся в одну сторону, а заряды другого знака - в противоположную (либо покоятся). Следовательно, проводник с током не имеет электрического поля. Однако, если поместить вблизи проводника магнитную стрелку, то она повернётся и займёт устойчивое положение. При изменении направления тока в проводнике магнитная стрелка поворачивается в противоположную сторону.

Вращение магнитной стрелки возможно только при действии на неё со стороны проводника, который образует вокруг себя силовое поле, называемое магнитным.

Магнитное поле образуется движущимися зарядами и обнаруживается по повороту магнитной стрелки.

Подобно тому, как для исследования электрического поля используется пробный заряд, так и для исследования магнитного поля применяется замкнутый контур малых размеров с током I (пробный контур) (рис.3.1.). Магнитное поле оказывает на пробный контур ориентирующее действие. Контур с током поворачивается по вектору нормали , который определяется по «правилу буравчика» (поступательное движение буравчика совпадает с вектором , вращательное – с направлением тока в конуре).

Нормаль, определённая по «правилу буравчика», называется положительной нормалью.

Пробный контур в магнитном поле занимает устойчивое положение, в котором его вектор нормали совпадает с направлением магнитного поля. Если контур повернуть на некоторый угол относительно направления поля, то возникает вращающий момент , возвращающий контур в прежнее устойчивое положение. Модуль вращающего момента зависит от угла между нормалью контура и направлением поля, достигая наибольшего значения при (при момент равен нулю).

В одной и той же точке поля на разные пробные контуры при фиксированном угле действует вращающий момент, который не зависит от формы контура, но пропорционален силе тока I в нём и площади S. Следовательно, действие магнитного поля на плоский контур с током определяется произведением I·S, которое называется дипольным магнитным моментом контура и обозначается P_m (аналогично вращающий момент, действующий в электрическом поле на диполь, пропорционален электрическому моменту диполя ).

Дипольный магнитный момент – векторная величина, совпадающая с направлением вектора положительной нормали контура и численно равна произведению его площади S на ток I в нём.

, (3.1)

Модуль магнитного момента измеряется в [А·м²]

На пробные контуры, различающиеся значением , в заданной точке поля действуют разные по модулю вращающие моменты М. Однако отношение модулей этих векторов оказывается при фиксированном угле одним и тем же и определяет модуль магнитной индукции.

, (3.2)

где М_мах – наибольшее значение вращающего момента контура, когда он повёрнут относительно направления поля на угол .

Магнитная индукция есть векторная величина, модуль которой определяется выражением (3.2), а направление задается равновесным положением положительной нормали контура с током.

Индукция магнитного поля в системе СИ измеряется в [Тл] – тесла.

Тесла – индукция магнитного поля, которое действует на плоский контур с магнитным моментом Р_m=1 Ам² и создаёт максимальный вращающий момент М_вр= 1Нм.

Учитывая векторный характер входящих в соотношение (3.2) величин, направление и модуль вращающего момента определяется соотношением

, (3.3)

где - угол между векторами и .

Опыт показывает, что для магнитного поля, как и для электрического,, справедлив принцип суперпозиции: индукция магнитного поля , образованного несколькими (n) движущимися зарядами (токами) в заданной точке пространства, равна векторной сумме индукций полей В_i, образованных зарядами (токами) в отдельности,

3.2. Линии индукции магнитного поля

Линиями индукции магнитного поля называют линии, касательные к которым совпадают с вектором индукции магнитного поля.

Линии индукции помогают представить картину магнитного поля и определить его величину и направление. Например, линии индукции магнитного поля прямолинейного проводника с током представляют собой концентрические окружности, лежащие в плоскости, перпендикулярной проводнику, центр которых находится на оси проводника (рис. 3.2).

Линии индукции строят так, что их густота определяет величину вектора в данной точке поля. Направление силовых линий определяется по «правилу буравчика», в котором поступательное движение буравчика совпадает с направлением тока, а вращательное с направлением силовых линий.

Рис. 3.2.

Важное свойство линий индукции состоит в том, что они всегда замкнуты или идут из бесконечности и уходят в бесконечность. Поле такого типа называют вихревым. Следовательно, магнитное поле - это вихревое поле.

Магнитное поле может быть однородным и неоднородным, стационарным и нестационарным.

Однородное поле – это поле, индукция которого во всех точках пространства одинакова, а линии индукции представляют прямые одного направления расположенные на одном расстоянии друг от друга.

Неоднородное поле – это поле, в котором от точки к точке меняется абсолютная величина и направление вектора .

Стационарное магнитное поле – это поле, магнитная индукция которого не зависит от времени.

Нестационарное магнитное поле – это поле, магнитная индукция которого зависит от времени.

Вопросы и задания для самопроверки

1. В чем проявляется магнитное взаимодействие?

2. Как определяется направление индукции магнитного поля в заданной точке?

3. От каких параметров зависит модуль вектора индукции магнитного поля?

4. Дайте определение магнитного момента контура с током.

5. Определите момент сил действующих на рамку с током А и площадью S=1м² в магнитном поле с B=1Тл, когда угол между векторами и составляет 30º.

3.3. Закон Био-Савара – Лапласа

Индукция магнитного поля любого проводника с током I есть векторная сумма индукций полей , создаваемых отдельными элементарными участками проводников (элементами тока), и соответствует принципу суперпозиции (рис. 3.3). Индукция магнитного поля от элемента тока: , , (3.4)

Рис. 3.3

где – элемент тока, – радиус-вектор, проведенный от элемента тока в расчетную точку А;- магнитная постоянная;α - угол между векторамии (рис.3.3).

Исходя из принципа суперпозиции, для определения индукции магнитного поля в заданной точке от всего проводника с током длиной необходимо проинтегрировать вклады индукций от элементов тока:

. (3.5)

Для самостоятельного изучения

3.4. Магнитное поле прямолинейного проводника

Прямолинейные проводники имеют самое широкое распространение. Встречаются короткие и длинные проводники. В первом случае длина проводника, как правило, задана, во втором – не определена и считается бесконечной. Найдём индукцию магнитного поля в точке А, расположенной на расстоянии а от прямолинейного проводника с током I и длиной .

а) б)

Рис.3.4.

Выделим в проводнике элемент тока (рис.3.4) и по закону Био–Савара–Лапласа определим индукцию магнитного поля от него в точке А:

. (3.6)

Так как в точке А все имеют одинаковые направления (рис.3.4б), то индукция магнитного поля по всей длине проводника определяется интегрированием dB

. (3.7)

Выразим изменяющиеся величины r и через одну угловую переменную . Ввиду малости угла dα, длина перпендикуляра b, проведенного из конца элемента тока на радиус-вектор , равна: b=rdα. Из прямоугольного треугольника ABC модуль радиуса вектора (рис.3.4а). Тогда

Подставим полученные значения в формулу (3.7):

. (3.8)

Для бесконечного проводника , а и, следовательно, в точке А индукция магнитного поля

. (3.9)

3.5. Магнитное поле на оси кольца с током

Круговые токи встречаются в катушках индуктивности и электромоторах, где проводники уложены в форме колец. Особый интерес представляют величина и направление вектора индукции магнитного поля на оси отдельного кольца c током в точке А, удаленной на расстоянии d от его центра (рис.3.5).

Рис.3.5

Выделим на кольце радиусом R симметричные элементы тока и . По закону Био – Савара – Лапласа определим в точке А модуль вектора индукции магнитного поля от элемента тока

,

где угол между векторами и I' равен . Такое же значение по модулю индукция магнитного поля в точке А будет иметь от элемента тока I".Векторы и совпадают с касательными к линиям индукции магнитного поля от элементов тока и , проведенными через точку А. Проекции векторов и на ось OY по абсолютной величине равны и обратны по знаку, и поэтому при сложении они взаимно компенсируют друг друга. Следовательно, складываются только проекции векторов и на ось OX. Тогда модуль индукции магнитного поля в точке А определяется интегрированием по всей длине l кольца:

Из рис.3.5 следует, что , а . Тогда индукция магнитного поля на оси кольца с током:

(3.10)

В центре кольца с током, когда , индукция магнитного поля

. (3.11)

3.6. Магнитное поле на оси соленоида конечной длины

Рассмотрим соленоид с числом витков , радиусом и длиной , по которому течет ток . Выделим на соленоиде на расстоянии от его левого края бесконечно узкое кольцо шириной (рис 3.6). Число витков в этом кольце dN=ndx, где плотность витков соленоида. Сила тока в выделенном кольце .

Рис.3.6

Направим ось ОХ вдоль оси соленоида, выбрав начало координат О на левом краю соленоида. В точке А с координатой , которая отстоит от выделенного кольца с током dI на расстоянии , модуль магнитной индукции согласно 3.10.

После подстановки , получим

Модуль вектора магнитной индукции в точке на оси соленоида определяется интегрированием dB(x₁) по всей длине соленоида:

(3.12)

где α и β - углы между осью соленоида и радиус-вектором, проведенным из рассматриваемой точки к концам соленоида (рис.3.6).

В середине длинного соленоида при длине >>,

.

Вопросы и задания для самопроверки

1. В чём заключатся принцип суперпозиции для магнитного поля?

2. Определите понятие элемента тока

3. Напишите в векторной и скалярной форме закон Био-Савара-Лапласа.

4. Как определяется модуль вектора индукции магнитного поля для элемента тока и проводника с током?

5. Определите последовательность расчёта индукции магнитного поля от проводников конечной и бесконечной длины.

6. Определите зависимость модуля индукции магнитного поля кольца радиусом R=1 м и током I=1 А от расстояния d по его оси.

7. Определите индукцию магнитного поля В(х) на оси соленоида для х=2L (рис. 3.6)

Дата добавления: 2014-01-04