Лекция №2 «Главные оси и главные моменты инерции

Момент инерции относительно оси, параллельной центральной (теорема Штейнера)

ПРЕДИСЛОВИЕ

Лекция № 1 «Геометрические характеристики

СОДЕРЖАНИЕ

Предисловие …………………………………………………………………….4

плоских сечений» ……………………………………………………………….5

2. Лекция № 2 «Главные оси и главные моменты инерции»..………………………………………….…………………………...13

3. Лекция №3 «Кручение. Расчёты на прочность и жёсткость при кручении» ………………………………………………………………………16

4. Лекция №4 «Срез и смятие. Расчёты на прочность» …….………………………………………………………………..32

5. Вопросы для проверки пройденного материала… ……………………..36

6. Список литературы …………………………………………………………37

В части 2 конспекта лекций содержаться основные теоретические положения и расчётные формулы по следующим темам: Геометрические характеристики плоских сечений, Кручение, Срез и смятие.

Целью конспекта лекций является оказание помощи студентам при изучении предмета, при решении и защите расчетно-графических работ по сопротивлению материалов.

Лекция №1 «Геометрические характеристики плоских сечений»

К геометрическим характеристикам плоских сечений относятся:

· площадь сечения F,

· статические моменты площади S_x, S_y,

· осевые моменты инерции J_x, J_y,

· центробежный момент инерции J_xy,

· полярный момент инерции J_{ρ ,}

· момент сопротивления кручению W_ρ,

· момент сопротивления изгибу W_x

1.1. Статические моменты площади S_x, S_y

Статический момент площади сечения относительно данной оси равен сумме произведений элементарных площадок на расстояние до соответствующей оси.

Рис. 1

(1)

(2)

Единицы измерения S_x и S_y: [см³], [мм³]. Знак «+» или «-» зависит от расположения осей.

Свойство: Статические моменты площади сечения равны нулю (S_x=0 и S_y=0), если точка пересечения координатных осей совпадает с центром тяжести сечения. Ось, относительно которой статический момент равен, называется центральной. Точка пересечения центральных осей называется центром тяжести сечения.

(3)

(4)

Где F - суммарная площадь сечения.

Пример 1:

Определить положение центра тяжести плоского сечения, состоящего из двух прямоугольников с вырезом.

Рис. 2

(5)

(6)

Отрицательная площадь вычитается.

1.2. Осевые моменты инерции J_x; J_y

Осевой момент инерции равен сумме произведений элементарных площадок на квадрат расстояния до соответствующей оси.

(7)

(8)

Единица измерения [см⁴], [мм⁴].

Знак всегда «+».

Не бывает равным 0.

Свойство: Принимает минимальное значение, когда точка пересечения координатных осей совпадает с центром тяжести сечения.

Чем дальше площадь удалена от центральной оси, тем осевой момент инерции сечения больше. Жесткость конструкции повышается.

Осевой момент инерции сечения применяют при расчетах на прочность, жесткость и устойчивость.

1.3. Полярный момент инерции сечения J_ρ

Рис. 3

(9)

Взаимосвязь полярного и осевого моментов инерции:

(10)

(11)

Полярный момент инерции сечения равен сумме осевых моментов.

Свойство:

при повороте осей в любую сторону, один из осевых моментов инерции возрастает, а другой убывает (и наоборот). Сумма осевых моментов инерции остается величиной постоянной.

1.4. Центробежный момент инерции сечения J_xy

Центробежный момент инерции сечения равен сумме произведений элементарных площадок на расстояния до обеих осей

(12)

Единица измерения [см⁴], [мм⁴].

Знак «+» или «-».

, если координатные оси являются осями симметрии (пример – двутавр, прямоугольник, круг), или одна из координатных осей совпадает с осью симметрии (пример – швеллер).

Таким образом для симметричных фигур центробежный момент инерции равен 0.

Координатные оси u и v, проходящие через центр тяжести сечения, относительно которых центробежный момент равен нулю, называются главными центральными осями инерции сечения. Главными они называются потому, что центробежный момент относительно них равен нулю, а центральными – потому, что проходят через центр тяжести сечения.

У сечений, не обладающих симметрией относительно осей x или y, например у уголка, не будет равен нулю. Для этих сечений определяют положение осей u и v с помощью вычисления угла поворота осей x и y

(13)

Центробежный момент относительно осей u и v -

Формула для определения осевых моментов инерции относительно главных центральных осей u и v:

(14)

где - осевые моменты инерции относительно центральных осей,

- центробежный момент инерции относительно центральных осей.

Теорема Штейнера:

Момент инерции относительно оси, параллельной центральной, равен центральному осевому моменту инерции плюс произведение площади всей фигуры на квадрат расстояния между осями.

(15)

Рис. 4

Доказательство теоремы Штейнера.

Согласно рис. 5 расстояние у до элементарной площадки dF

Рис. 5

Подставляя значение у в формулу, получим:

Слагаемое , так как точка С является центром тяжести сечения (см. свойство статических моментов площади сечения относительно центральных осей).

Для прямоугольника высотой h и шириной b:

Осевой момент инерции:

Момент сопротивления изгибу:

момент сопротивления изгибу равен отношению момента инерции к расстоянию наиболее удаленного волокна от нейтральной линии:

т.к. , то

Для круга:

Полярный момент инерции:

Осевой момент инерции:

Момент сопротивления кручению:

Т.к. , то

Момент сопротивления изгибу:

Пример 2. Определить момент инерции прямоугольного сечения относительно центральной оси Сx.

Рис. 6

Решение. Разобьём площадь прямоугольника на элементарные прямоугольники с размерами b (ширина) и dy (высота). Тогда площадь такого прямоугольника (на рис. 6 заштрихована) равна dF = bdy. Вычислим значение осевого момента инерции J_x

По аналогии запишем

- осевой момент инерции сечения относительно центральной

оси у

Центробежный момент инерции

, так как оси Сx и С y являются осями симметрии.

Пример 3. Определить полярный момент инерции круглого сечения.

Рис. 7

Решение. Разобьём круг на бесконечно тонкие кольца толщиной радиусом , площадь такого кольца . Подставляя значение в выражение для полярного момента инерции интегрируя, получим

Учитывая равенство осевых моментов круглого сечения и

, получаем

Осевые моменты инерции для кольца равны

с – отношение диаметра выреза к наружному диаметру вала.

Рассмотрим, как изменяются моменты инерции при повороте координатных осей. Положим, даны моменты инерции некоторого сечения относительно осей 0 х, 0 у (не обязательно центральных)- , - осевые моменты инерции сечения. Требуется определить , - осевые моменты относительно осей u, v, повёрнутых относительно первой системы на угол (рис. 8)

Рис. 8

Так как проекция ломаной линии ОАВС равна проекции замыкающей, находим:

(15)

Исключим u и v в выражениях моментов инерции:

Тогда

Откуда

(16)

(17)

(18)

Рассмотрим два первых уравнения. Складывая их почленно, получим

Таким образом, сумма осевых моментов инерции относительно двух взаимно перпендикулярных осей не зависит от угла и при повороте осей остается постоянной. Заметим при этом, что

Где - расстояние от начала координат до элементарной площадки (см. рис.5). Таким образом

Где - уже знакомый нам полярный момент инерции:

Определим осевой момент инерции круга относительно диаметра.

Так как в силу симметрии но, как известно,

Следовательно, для круга

С изменением угла поворота осей значения моментов и меняются, но сумма остается неизменной. Следовательно существует такое значение , при котором один из моментов инерции достигает своего максимального значения, в то время как другой момент принимает минимальное значение. Дифференцируя выражение по углу и приравнивая производную к нулю, находим

(19)

При этом значении угла один из осевых моментов будет наибольшим, а другой - наименьшим. Одновременно центробежный момент инерции обращается в нуль, что можно легко проверить, приравнивая к нулю формулу для центробежного момента инерции .

Оси, относительно которых центробежный момент инерции равен нулю, а осевые моменты принимают экстремальные значения, называются главными осями. Если они к тому же являются центральными (точка начала координат совпадает с центром тяжести сечения), то тогда они называются главными центральными осями (u; v). Осевые моменты инерции относительно главных осей называются главными моментами инерции -и

И их значение определяется по следующей формуле:

(20)

Знак плюс соответствует максимальному моменту инерции, знак минус - минимальному.

Существует ещё одна геометрическая характеристика – радиус инерциисечения. Эта величина часто используется в теоретических выводах и практических расчётах.

Радиусом инерции сечения относительно некоторой оси, например 0x, называется величина , определяемая из равенства

(21)

F – площадь поперечного сечения,

- осевой момент инерции сечения,

Из определения следует, что радиус инерции равен расстоянию от оси 0 х до той точки, в которой следует сосредоточить (условно) площадь сечения F, чтобы момент инерции одной этой точки был равен моменту инерции всего сечения. Зная момент инерции сечения и его площадь, можно найти радиус инерции относительно оси 0 х:

(22)

Радиусы инерции, соответствующие главным осям, называются главными радиусами инерции и определяются по формулам

(23)

Дата добавления: 2013-12-11