Max ≤ [τ]

Основные понятия и зависимости.

Лекция 3. Кручение стержней круглого поперечного сечения.

Под кручением стержня понимается такой вид нагружения, при котором в его поперечных сечениях возникает только один внутренний силовой фактор - крутящий момент М_кр, а в поперечных сечениях возникают только касательные напряжения τ.

Валом называется стержень, работающий на кручение.

3.2. Гипотезы, принятые при кручении:

1. Выбранное в стержне до нагружения поперечное сечение остается плоским и перпендикулярным оси и после нагружения. Радиусы поперечных сечений не искривляются.

2. Расстояния между поперечными сечениями не изменяются, так как отсутствуют нормальные напряжения и линейные деформации равны нулю. При кручении действуют только касательные напряжения.

3. Сечения поворачиваются друг относительно друга на угол закручивания dφ на элементарном расстоянии между сечениями dх. Чем больше расстояние между сечениями, тем больше угол закручивания. Полный угол закручивания - φ –характеризует поворот концевого сечения относительно другого неподвижного на расстоянии, равном длине вала - L. Чтобы исключить влияние длины вала вводится понятие относительного (погонного) угла закручивания - .

=φ/L=dφ/dx (24) – отношение угла закручивания к расстоянию между сечениями. Имеет размерность см^-1.

Если на поверхность вала (см. рис. 1) с одним защемлённым концом, а другим свободным, нанести сетку, состоящую из линий, параллельных оси, и линий, представляющих собой параллельные круги и приложить к свободному концу вала нагрузку в виде скручивающего момента М_кр, то первоначально прямые углы сетки будут искажаться, перекашиваться (это особенно наглядно, если в качестве материала взять резину). Угол γ называется угловой деформацией или углом сдвига. Установлено, что в пределах упругих деформаций касательные напряжения τ и угол сдвига γ связаны между собой линейной зависимостью:

τ=G∙γ закон Гука при сдвиге, (25)

Рис. 9

G – коэффициент пропорциональности называется модулем сдвига, или модулем упругости второго рода и характеризует жесткость материала при сдвиге. Имеет размерность: кГ/см² или кГ/мм², или Н/мм²(МПа-мегапаскаль)

Для одного и того же материала между модулем упругости первого рода - Е (модуль Юнга), модулем упругости второго рода - G ( модуль сдвига) и коэффициентом Пуассона - μ = ε^,/ε ( отношение относительной поперечной деформации:к относительной продольной:) существует следующая зависимость:

(26)

3.3. При кручении вал рассчитывают на прочность и жёсткость.

Условие прочности при кручении имеетвид:

τ _max ≤ [τ]. (27)

При расчётах на прочность находят максимальные касательные напряжения τ_max, которые действуют на поверхности вала и сравнивают их с допускаемыми [τ]:

τ _max = , (28)

где М _кр^max – максимальный крутящий момент в сечении, берётся с эпюры крутящих моментов;

W_ρ = I_ρ/ρ_max – полярный момент сопротивления кручению.

Так как I_ρ = – полярный момент инерции сечения; ρ_max=d/2, то W_ρ=

Для нахождения максимального крутящего момента строят эпюру крутящих моментов (график изменения внутреннего силового фактора – крутящего момента – по длине вала). Для нахождения крутящего момента применяется метод сечений.

Дата добавления: 2013-12-11