Этапы развития логики

Операции над множествами

Определение. Объединением множеств А и В называется множество С, элементы которого принадлежат хотя бы одному из множеств А и В.

Обозначается С = А U В.

Геометрическое изображение множеств в виде области на плоскости называется диаграммой Эйлера — Вэйна.

А

В

Геометрическое изображение множеств в виде области на плоскости называется диаграммой Эйлера — Вэйна.

Определение. Пересечением множеств А и В называется множество С, элементы которого принадлежат каждому из множеств А и В. Обозначение С = А ∩ В.

Определение. Разностью множеств А и В называется множество, состоящее из элементов множества А, не принадлежащих множеству В. Обозначается: С = А В.

Дополнение множества А. (С = А) – не А. Все элементы, принадлежащие универсальному множеству, не принадлежат множеству А.

Свойства операций над множествами.

1. A U B = B U A – коммутативность. A n B = B n A

2. (A U B) U C = A U (B U C), A n (B n C) = (A n B) n C – ассоциативность.

3. (A U B) n C = (A n C) u (B n C), (AnB) U C = (A U C) n (B U C) – дистрибутивность.

4. Поглощение A U A = A, A n A = A.

5. Существование универсальных границ. А U 0 = A A n 0 = 0 A u U = U A n U = A

6. Двойное дополнение A = A

7. A U A = U A n A = 0

8. Законы двойственности или закон Де – Моргана (AUB) = A n B (AnB) = A U B

3.2. Логика

LOGOS ( греч.) - слово, понятие, рассуждение, разум.

Слово «логика» обозначает совокупность правил, которым подчиняется процесс мышления.

Основными формами абстрактного мышления являются: понятия, суждения, умозаключения.

Понятие - форма мышления, в которой отражаются существенные признаки отдельного предмета или класса однородных предметов (трапеция, дом).

Суждение - мысль, в которой что-либо утверждается или отрицается о предметах (весна наступила, и грачи прилетели).

Умозаключение - прием мышления, посредством которого из исходного знания получается новое знание (все металлы - простые вещества).

Логика (формальная) - наука о законах и формах правильного мышления.

Математическая логика - изучает логические связи и отношения, лежащие в основе логического (дедуктивного) вывода.

I. АРИСТОТЕЛЬ (384-322 гг. до н.э., древнегреческий философ) - основоположник логики.

Написал книги «Категории», «Первая аналитика», «Вторая аналитика».

Аристотель создавал логику как науку о доказательстве истины, стремился придать логическим рассуждениям математическую строгость и стройность. Он стал применять символы-буквы для обозначения различных объектов в логических рассуждениях, стремясь свести размышление (умозаключение) к вычислениям. Исследовал различные формы рассуждений, ввел понятие силлогизма. Силлогизм -рассуждение, в котором из заданных двух суждений выводится третье.

Например:

1.Все млекопитающие имеют скелет. Все киты - млекопитающие. Следовательно, все киты имеют скелет.

2. Все квадраты - ромбы. Все ромбы - параллелограммы. Следовательно, все квадраты - параллелограммы.

Аристотель выделил все правильные формы силлогизмов, которые можно составить из рассуждений вида: «Все А суть В»; «Некоторые А суть В»; «Все А не суть В»; «Некоторые А не суть В».

Логика, основанная на теории силлогизмов называется классической.

II. Декарт Рене (1596-1650, французский философ, математик).Рекомендовал в логике использовать математические методы.

III. Лейбниц Г.В. (1646-1716, немецкий философ и математик) - предложил использовать в логике математическую символику и впервые высказал мысль о возможности применения в ней двоичной системы счисления. Ему принадлежит идея логического исчисления, то есть четко сформулированные правила действий со словами и предложениями, сродни арифметическим правилам действий с числами. В соответствии с этими правилами простые элементы логических рассуждений (понятия) обозначаются буквами, сложные элементы (предложения) – формулами, а умозаключения – уравнениями. «Единственное средство улучшить наши умозаключения – сделать их, как у математиков, наглядными, и если среди людей возникнет спор, нужно сказать «Посчитаем!»; тогда без особых формальностей можно будет увидеть, кто прав», - писал Лейбниц.

Лейбниц заложил идейный фундамент математической логики, а над практической реализацией этих идей работали и работают многие учёные.

IV. Джордж Буль (1815-1864, ирландский математик и логик) - основоположник математической логики. В 1847 г. Джордж Буль в работе «Математический анализ логики» изложил основы булевой алгебры. Разработал алфавит, орфографию и грамматику.

Вычисление истинности или ложности рассуждений, записанных с помощью специальных знаков, – основная задача созданной Булем алгебры логики или, как её чаще называют булевой алгебры.

Развитие идей Буля привело к созданию современной математической логики, которая включает в себя алгебру множеств, алгебру высказываний, алгебру релейных схем (реле – это переключатель в электрических схемах), без которых было бы невозможным проектирование и программирование вычислительных машин. Именно булева алгебра лежит в основе работы компьютера.

Дата добавления: 2013-12-12