Скорость упругих волн

Стержень называется «тонким», когда его поперечные размеры малы по сравнению с длиной упругой волны . При малых продольных деформациях стержня справедлив закон Гука, устанавливающий пропорциональность между величиной относительной продольной деформации и величиной напряжения (Н/м²):

(27.24)

Где – модуль Юнга (Па). Каждая из величин σ и ε является алгебраической и их знаки всегда одинаковы (при растяжении – положительны, при сжатии отрицательны).

Процесс распространения упругой продольной волны в стержне означает распространение в нем локальных продольных деформаций растяжения и сжатия, которые испытывают последовательно все элементы стержня. Рассмотрим малый элемент стержня в тот момент прохождения волны, когда он оказался растянутым.

Согласно второму закону Ньютона

(27.25)

Здесь

В рассматриваемый момент >и <. Соответствующие значения напряжений σ и деформаций ε в обоих крайних сечениях выделенного элемента (и ) – положительны (поскольку отвечают растяжению). Поэтому правую часть уравнения можно записать в виде

Тогда уравнения движения (25) после сокращения на величину элементарного объемапримет вид . Учитывая закон Гука (24), окончательно получаем:

(27.26)

Мы пришли к волновому уравнению, в котором скорость распространения волны определяется величиной

(27.27)

Полученное выражение для фазовой скорости продольной упругой волны справедливо только в приближении тонкого стержня. Для не тонкого стержня выражение для u имеет место более сложный вид и значение u оказывается больше, чем в случае тонкого стержня.

Скорость поперечных волн упругих волн в неограниченной изотропной твердой среде

(27.28)

где G – модуль сдвига среды, ρ – ее плотность.

Скорость поперечной волны в гибком шнуре (струне).

В состоянии равновесия натянутая струна проходит вдоль оси абсцисс. Отклонения точек струны от состояния равновесия будем описывать функцией . Найдем уравнение малых поперечных колебаний натянутого шнура, исходя из основного равнения динамики.

Рассмотрим малый участок струны«1,2», концы которого имеют координаты и. Длина этого участка равна

(27.29)

Мы воспользовались тем обстоятельством, что колебания струны достаточно малые, так что угол наклона к оси любого элемента струны пренебрежимо мал.

В силу малости искривления струны величину вызванного ей удлинения можно считать постоянной вдоль всей струны и неизменной во времени. Тогда величину силы натяжения также можно считать неизменной во времени и вдоль струны.

Разложим силы натяжения и , действующие на выделенный элемент струны, на составляющие вдоль оси и ортогонально ей. Суммарная сила натяжения вдоль оси абсцисс:

Для ортогональный составляющих:

Уравнение Ньютона для выделенного элемента шнура плотности и площадью поперечного сечения :

(27.30)

Здесь - напряжение в шнуре. Сравнивая формул (30) с выражениями для скорости (27),(28), видим, что скорость поперечной волны в упругом шнуре отличается от скорости упругой волны в тонком стрежне заменой модулей упругости на величину напряжения .

Дата добавления: 2013-12-13