Структура общего решения неоднородной линейной системы,

Пусть - частное решение неоднородное решение неоднородной системы уравнений (2), а - фундаментальная система решений однородной системы уравнений (3). Тогда формула

, (16)

где - произвольные постоянные, дает общее решение неоднородной системы уравнений (2).

Теорема 9. Пусть на отрезке матрица и вектор непрерывны, и пусть известна фундаментальная система решений для однородной системы уравнений (3). Тогда общее решение неоднородной системы уравнений (2) находится с помощью квадратур.

Доказательство. Пусть - фундаментальная система решений для уравнения (3), тогда

()

или в матричной форме

, (17)

где - матрица, называемая фундаментальной матрицей системы уравнений (3). Определитель фундаментальной матрицы есть определитель Вронского и поэтому отличен от нуля на отрезке : .

Будем искать решение системы уравнений (2) в виде

, (18) где .

Подставляя выражение (18) в (2), получим

. (19)

В силу (17) уравнение (19) примет вид

(20) Так как и матрица непрерывна на , то существует непрерывная на обратная матрица .

Умножая обе части уравнения (20) слева на , получим

,

откуда

(21)

где - произвольный постоянный вектор. Подставляя найденное выражение (21) для в формулу (18), получим

(22) Формула (22) дает общее решение неоднородной системы уравнений (2). Решение задачи Коши для системы (2) задается формулой

.

Метод нахождения решения системы (2) называется методом вариации постоянных или методом неопределенных коэффициентов Лагранжа.

Практически удобно поступать следующим образом: Уравнение (20) в развернутом виде

представляет собой систему линейных уравнений относительно :

,

,

………………………………………

.

Решая эту систему относительно (), получим или

.

Подставляя найденные выражения для в (18) получим общее решение для системы (2).

3. Решение дифференциальных уравнений методом операционного исчисления

Пусть дано дифференциальное уравнение: , где f(t) – оригинал, а (i = 1,2,..,n) – постоянные коэффициенты. Будем искать решение этого уравнения, удовлетворяющее начальным условиям . Обозначим изображение исходной функции , после чего найдем изображения правой и левой частей уравнения. Получив вспомогательное уравнение, разрешим его относительно X(p) и найдем оригинал его, то есть x(t). Пример 4. Решить дифференциальное уравнение при начальных условиях . Решение. Полагая , получим операторное уравнение с учетом Так как имеет корни и , то . Значит, . Разложим X(p) на простейшие дроби: . Отсюда . Подставим в обе части этого тождества p=1. Тогда имеем . Полагая , получим , откуда . Далее, подставляя найденные A и C в тождество, получим . Приравнивая свободные члены в обеих частях тождества, получаем уравнение для определения B: а . И следовательно, .

Заключение

Можно сделать вывод, что многие физические законы, которым подчиняются те или иные явления, записываются в виде математического уравнения, выражающего определенную зависимость между какими-то величинами. Часто речь идет о соотношении между величинами, изменяющимися с течением времени, например экономичность двигателя, измеряемая расстоянием, которое автомашина может проехать на одном литре горючего, зависит от скорости движения автомашины. Соответствующее уравнение содержит одну или несколько функций и их производных и называется дифференциальным уравнением.

Большое значение, которое имеют дифференциальные уравнения для математики и особенно для ее приложений, объясняются тем, что к решению таких уравнений сводится исследование многих физических и технических задач.

Задача нахождения решения обыкновенного дифференциального уравнения или системы обыкновенных дифференциальных уравнений, удовлетворяющего некоторым начальным условиям, называется задачей Коши.

Решением будет функция, график которой касается каждой своей точкой соответствующего отрезка. Каждое отдельное решение называется частным решением дифференциального уравнения; если удается найти формулу, содержащую все частные решения (за исключением, быть может, нескольких особых), то говорят, что получено общее решение. Частное решение представляет собой одну функцию, в то время как общее – целое их семейство. Решить дифференциальное уравнение – это значит найти либо его частное, либо общее решение.

Линейные уравнения – это уравнения «первой степени» – неизвестная функция и ее производные входят в такие уравнения только в первой степени. Таким образом, линейное дифференциальное уравнение первого порядка имеет вид dy/dx + p(x) = q(x), где p(x) и q(x) – функции, зависящие только от x. Его решение всегда можно записать с помощью интегралов от известных функций. Многие другие типы дифференциальных уравнений первого порядка решаются с помощью специальных приемов.

Многие дифференциальные уравнения, с которыми сталкиваются физики, это уравнения второго порядка (т.е. уравнения, содержащие вторые производные) Вообще говоря, можно ожидать, что уравнение второго порядка имеет частные решения, удовлетворяющие двум условиям; например, можно потребовать, чтобы кривая-решение проходила через данную точку в данном направлении. В случаях, когда дифференциальное уравнение содержит некоторый параметр (число, величина которого зависит от обстоятельств), решения требуемого типа существуют только при определенных значениях этого параметра. Значения параметра, при которых уравнение имеет особые решения, называются характеристическими или собственными значениями; они играют важную роль во многих задачах.

В работе также проведено решение конкретных заданий, связанных с нахождением решения дифференциальных уравнений и систем дифференциальных уравнений.

Таким образом, дифференциальные уравнения играют существенную роль и в других науках, таких, как биология, экономика и электротехника; в действительности, они возникают везде, где есть необходимость количественного (числового) описания явлений (коль скоро окружающий мир изменяется во времени, а условия изменяются от одного места к другому).

Дата добавления: 2013-12-13