Свойства функций, непрерывных в заданной точке

Две теоремы о существовании предела функции.

Теорема 1. (Теорема о пределе монотонной функции.) Если функция возрастает и ограниченна в окрестности точки , существуют односторонние пределы
и . При этом в левой полуокрестности и в правой полуокрестности этой точки.

Теорема 2. (Критерий Коши для функций.) Для существования конечного предела необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие Коши:

.

Эти теоремы легко вывести из соответствующих теорем для последовательностей (см. теоремы 1. и 4.из §10).

Определение. Функция называется непрерывной в точке , если при , корче говоря, , другими словам: если , то есть бесконечно малому приращению аргумента отвечает бесконечно малое приращение функции.

Пример 1. Функция непрерывна при любом . Действительно,

.

Поэтому, .

Теорема 1. Если функции и непрерывны в точке , то непрерывны в этой точке. Если, кроме того, , то отношение также непрерывно в точке .

Доказательство. Это утверждение − непосредственное следствие теорем о пределах. Докажем, например, непрерывность отношения. Мы имеем

.

Теорема 2. Если функция непрерывна в точке , а функция непрерывна в точке , то сложная функция (композиция) непрерывна в точке .

Доказательство. , т. е. , а

Окончательно получаем . Ч и т.д.

Два следующих свойства непрерывных функций − сразу следуют из соответствующих теорем о пределах.

Теорема 3. (Свойство локальной ограниченности.) Если функция непрерывна в точке , то она ограниченна в окрестности этой точки.

Теорема 4. (Свойство локального сохранения знака.) Если функция непрерывна в точке и , то сохраняет знак числа в окрестности этой точки.

Сформулируем пока без обсуждения еще одну теорему.

Теорема 5. Любая из э лементарных функций непрерывна всюду, где она определена.

Дата добавления: 2013-12-13