Замена переменных в кратных интегралах

1˚. Перед тем как сформулировать правило замены переменных в кратных интегралах, напомним это правило в одномерном случае.

Рассмотрим гладкое отображение (замену переменной) . Будем считать, что , причём не обращается в нуль на отрезке . Пусть еще , . Тогда .

Теорема. Пусть − область с кусочно-гладкой границей и , где , − взаимно однозначное отображение класса , причем якобиан этого отображения не обращается в нуль в области . Пусть ещё . Тогда

.

Эту формулу можно объяснить следующим образом. Из линейной алгебры известно, что , где − линейный оператор , показывает, во сколько раз изменяется объём любого параллелепипеда (и, значит, любого тела) под действием оператора . Отсюда нетрудно вывести, что модуль определителя Якоби отображения представляет собой коэффициент искажения объёма бесконечно малой окрестности точки под действием этого отображения.

2˚. Криволинейные координаты в области задаются с помощью гладкого взаимно однозначного отображения , для которого якобиан не обращается в нуль . Координатной линией называются образ линии , вдоль которой изменяется только координата .

В качестве примера криволинейных координат рассмотрим полярные координаты на плоскости. В этом случае − полярный радиус точки , отсчитываемый от полюса , − полярный угол, отсчитываемый от полярной оси. Если , −

координаты точки в правой прямоугольной декартовой системе координат, где ось

совпадает с полярной осью, то . Линии − лучи, выходящие из точки , линии − окружности с центром в этой точке.

Вернёмся к общему случаю. По касательной к линии в заданной точке идёт вектор , который мы будем коротко записывать . Длина этого вектора называется коэффициентом Ламэ и обозначается . По предыдущему , т.е. − коэффициент искажения длины вдоль линии . В таком случае − единичный касательный вектор к линии . Набор векторов называется подвижным репером. Он, вообще говоря, зависит от точки, в которой вычислены все эти векторы. Если подвижный репер в каждой точке образует ортогональную систему, то криволинейные координаты называются ортогональными.

Имеем . В ортогональном случае из этой формулы, в частности, следует, что

.

Таким образом, в случае перехода от прямоугольных декартовых координат к ортогональным криволинейным координатам коэффициент искажения объёма равен произведению коэффициентов искажения длины вдоль координатных направлений.

Дата добавления: 2013-12-13