Площадь плоской фигуры

Геометрические приложения.

Приложения кратных интегралов.

Важные примеры криволинейных координат.

1. Полярные координаты. Выше уже были описаны полярные координаты и их связь с прямоугольными декартовыми координатами. Коэффициенты Ламэ легко вычисляются, исходя из их геометрического смысла: , .

Подвижный репер состоит из взаимно ортогональных векторов . Следовательно, полярные координаты представляют собой ортогональную криволинейную систему координат. Поэтому , иначе говоря, .

2. Обобщенные полярные (эллиптические) координаты. По определению . Координатными линиями являются эллипсы и лучи . Система − косоугольная. Здесь или .

3. Цилиндрические координаты в пространстве.Так называются величины , где совпадает с соответствующей декартовой координатой точки , а − полярные координаты точки , являющейся проекцией на плоскость . Здесь . Линии − лучи, расходящиеся от оси под прямым углом к ней. Линии − окружности с центром на си , лежащие в плоскостях . Линии − прямые, параллельные оси . Координатные поверхности: полуплоскости, начинающиеся с оси , плоскости, наконец, цилиндры (дающие название системе). Коэффициенты Ламэ: . Данная система является ортогональной. , т.е. .

4. Сферические координаты в пространстве.Так называются величины , где − расстояние точки от начала координат; − широта и долгота точки; . При этом . Линии − лучи, выходящие из начала координат; линии − меридианы; линии − параллели. Координатные поверхности − сферы, конусы и полуплоскости, начинающиеся с оси . Коэффициенты Ламэ: , , . Так как сферическая система является ортогональной, то , .

Пример. Найти площадь фигуры , ограниченной линиями: , , .

Дата добавления: 2013-12-13