Поточечная и равномерная сходимость функциональных рядов

Определение 1. Функциональный рядсходится в точке , если числовой ряд является сходящимся. Совокупность таких точек (точек сходимости) называется множеством сходимости (или областью сходимости) ряда. Говорят ещё, что ряд поточечно сходится на множестве . (Отметим, что может быть совершено произвольным подмножеством числовой прямой.)

Пусть − сума, n -я частичная сумма и n -й остаток ряда. . Поточечная сходимость ряда на множестве означает, что в каждой точке .

Определение 2. Ряд равномерно сходится на множестве , если . Это означает другими словами, что последовательность частичных сумм равномерно сходится сумме ряда или Ã.

Ясно, что из равномерной сходимости на множестве следует поточечная сходимость на этом множестве, Обратная импликация не верна.

Контрпример.Рассмотрим на отрезке последовательность функций или ряд.В этом примере . Однако , следовательно, .

Критерий Коши равномерной сходимости ряда. Ряд равномерно сходится на множестве тогда и только тогда, когда .

Доказательство. Необходимость условия Коши сразу следует из равенства .

Предположим теперь, что условие Коши выполнено. Тогда последовательность поточечно фундаментальна и, следовательно, имеет поточечный предел, скажем . Кроме того, в силу условия Коши , существует номер такой, что будет всюду на множестве . Переходя к поточечному пределу , видим, что всюду или . Таким образом, Ã.

Следствие (Признак Вейерштрасса равномерной сходимости ряда). Если функциональный ряд правильно сходится на множестве , т.е. мажорируется посредством сходящегося числового ряда, скажем , то данный функциональный ряд равномерно сходится .

Доказательство. Если и при всех значениях , а ряд сходится, то .. Поэтому . В таком случае согласно критерию Коши ряд равномерно сходится на множестве .

Признак Абеля равномерной сходимости ряда. Рассмотрим ряд вида .

Предположим, что выполнены следующие условия:

1) ряд равномерно сходится на множестве ,

2) последовательность равномерно ограничена , т.е. существует такое положительное число , что ,

3) при любом фиксированном значении − монотонная последовательность.

В таком случае ряд равномерно сходится на множестве .

Доказательство. Обозначим остаток ряда и . Из условия 1) следует, что , когда . Оценим величину .

.

Поэтому ввиду монотонности последовательности . Следовательно, . Остаётся воспользоваться критерием Коши равномерной сходимости ряда.

Дата добавления: 2013-12-13