Точка пересечения двух прямых

Различные записи уравнения прямой на плоскости

Уравнение прямой в отрезках

Уравнение прямой с угловым коэффициентом

Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки

Располагая различными формами записи уравнения прямой на плоскости, можно вычислять различные замечательные величины, которые в евклидовой геометрии требуют либо особенных построений, либо достаточно громоздких и требующих применения ряда теорем вычислений. В аналитической геометрии все сводится к решению достаточно простых алгебраических уравнений. Рассмотрим некоторые характерные случаи таких вычислений.

Расстояние от точки до прямой на плоскости

Уравнение прямой в полярной системе координат

Снова напоминая о трудностях евклидовой геометрии, можно отметить, какое большое место среди задач по планиметрии занимает решение треугольников. Треугольник обладает множеством замечательных свойств, что всегда приводило в восторг математиков и зачастую в ужас их учеников. Аналитическая геометрия и здесь приходит на помощь, заменяя множество вспомогательных построений решением алгебраических уравнений и существенно облегчая нагрузку на эвристический аппарат.

Сначала введем вспомогательный термин: правильное уравнение прямой (применительно к решению треугольников).

Уравнение прямой, проходящей вдоль стороны треугольника, назовем правильным, если при подстановке в него координат противоположной вершины треугольника получим положительную величину.

Найдем координаты центра и радиус описанной окружности.

Пусть (x,y) — координаты центра описанной окружности О₁(x,y). Тогда справедливы равенства:

Чтобы проделать аналогичные вычисления для вписанной окружности, напомним, что ее центр расположен на одинаковых расстояниях от всех сторон треугольника. Но геометрическое место точек, равноудаленных от двух каких-либо сторон треугольника — это биссектриса угла, образованного этими сторонами. Следовательно, координаты центра вписанной окружности следует искать как координаты точки пересечения биссектрис двух каких-либо углов треугольника.

Дата добавления: 2013-12-13