Несобственные интегралы от неотрицательных функций

Пусть интеграл имеет единственную особенность в точке b и на функция . Тогда функция монотонно не убывает . Поэтому, если она ограничена , то существует сходящийся интеграл

.

Если же неограничена, то расходится:

.

♦ Теорема 26.2. Пусть интегралы

(26.6.1)

и

(26.6.2)

имеют единственную особенность в точке b и на выполняются неравенства . Тогда из сходимости (26.6.2) следует сходимость (26.6.1) и , а из расходимости (26.6.1) следует расходимость (26.6.2).

Доказательство. Для неравенства равносильны

. (26.7)

Если (26.6.2) сходится, то правая часть (26.7) ограничена числом, равным интегралу (26.6.2), но тогда ограничена и левая часть. Так как левая часть при возрастании монотонно не убывает, то она стремится к пределу

.

Из расходимости (26.6.1) следует, что предел левой части (26.7) равен , и предел правой части (26.7) также равен . ■

♦ Теорема 26.3. Пусть интегралы (26.6.1) и (26.6.2) имеют единственную особенность в точке b, подынтегральные функции положительны и существует конечный предел

. (26.8)

Тогда интегралы (26.6.1) и (26.6.2) сходятся или расходятся одновременно.

Доказательство. Из (26.8) следует, что такое, что . Так как , то . Из сходимости следует сходимость и сходимость , но тогда по теореме 26.2 сходится , а вместе с ним и .

Обратно, из сходимости следует сходимость , так как . ■

J Пример 26.4. Исследовать на сходимость .

, значит сходится. J

Значком ~ будем обозначать «эквивалентность» интегралов, то есть одновременную сходимость или расходимость интегралов.

J Пример 26.5. 1) .

2) .

Интегралы 1) и 2) имеют единственную особенность в точке , , при .

3) . Единственная особенность в точке , при . J

J Пример 26.6. сходится, так как

.

, то есть : . Функция ограничена на некоторым числом . Таким образом на она ограничена числом . J

Дата добавления: 2014-01-04