Способ вычисления криволинейного интеграла 2-го рода

Свойства криволинейного интеграла 2-го рода

1. Если функции P(M), Q(M), R(M) непрерывны на кривой (АВ), то интеграл (26.6) существует (справедливость этого утверждения следует из определения).

1. При изменении направления кривой (то есть перемены местами начальной и конечной ее точек) криволинейный интеграл 2-го рода меняет знак:

(26.7)

Действительно, при этом изменяется знак Δ x_i в интегральной сумме.

Теорема 1. Пусть кривая L задана параметрическими уравнениями

x = φ(t), y = ψ(t), z = χ(t), α ≤ t ≤ β,

где φ, ψ, χ – непрерывно дифференцируемые функции, и на ней задана непрерывная функция f(x, y, z). Тогда интеграл (26.5) существует и имеет место равенство

. (26.8)

Доказательство.

Запишем Δ x_i = x_i – x_{i- 1} = φ(t_i) – φ(t_{i- 1} ) и преобразуем последнюю разность по формуле Лагранжа: φ(t_i) – φ(t_{i- 1} ) = φ΄(τ_i) Δ t_i, где τ_i – некоторое значение t, заключенное между t_i-1 и t_i. Выберем точку М_i так, чтобы ее координаты соответствовали значению параметра, равному τ_i: M_i(φ(τ_i), ψ(τ_i), χ(τ_i)). Подставив эти значения в формулу (26.5), получим:

.

Справа получен предел интегральной суммы для функции f(φ(t),ψ(t),χ(t))φ΄(t) на отрезке [ α, β ], равный определенному интегралу от этой функции:

,

что и требовалось доказать.

Следствие. Аналогичные соотношения можно получить для криволинейных интегра-лов вида , откуда следует, что

(26.9)

Пример.

Вычислим интеграл , где L – отрезок прямой от точки А (1,2,-2) до точки В (0, -1, 0). Запишем уравнение этой прямой в параметрическом виде:

Следовательно, φ΄(t) = -1, ψ΄(t) = -3, χ΄(t) = 2. Тогда

Дата добавления: 2014-01-04