Понятие о ряде Фурье непериодических функций

Кусочно-гладкую непериодическую функцию , заданную на интервале , нельзя представить её рядом Фурье. Однако можно построить представление этой функции в виде соответствующего ряд Фурье на любом конечном промежутке.

Пусть интересующий нас промежуток . Построим функцию периода такую, что при . Предполагая, что удовлетворяет условиям теоремы Дирихле 33.1, имеем

, (33.7)

где

, . (33.8)

Так как при , получаем

, (33.7а)

где , Подсчитаем сумму ряда (33.7а) или соответствующего ряда (33.7) в концевых точках . Так как , и на основании 2 l -периодичности функции , , то . Из 2 l -периодичности вытекает, что .

J Пример 33.2. Функция разложена в ряд Фурье на интервале . Определить , где – сумма ряда Фурье.

. J

Пусть непериодическую функцию требуется представить рядом Фурье периода на «полупериоде» . Полагая

(33.9)

где – произвольная кусочно-гладкая функция, из (33.7) и (33.8) получаем бесконечное множество рядов Фурье , дающих представление функции на интервале . В частности, полагая в формуле (33.9) («чётное продолжение»), имеем

, (33.10)

где

. (33.11)

Аналогично, для («нечётное продолжение»), имеем:

, (33.12)

где

. (33.13)

Таким образом, кусочно-гладкую функцию, заданную на полупериоде, можно разложить в соответствующий ряд Фурье бесчисленным множеством способов. В частности, по желанию эту функцию на данном полупериоде можно представить: 1) в виде суммы чётных гармоник или 2) в виде суммы нечётных гармоник.

J Пример 33.3. Функцию разложить по косинусам кратных дуг в интервале .

Функция нечётная и требуется получить её ряд Фурье, содержащий лишь чётные гармоники.

Полагаем . Из (33.10), (33.11) имеем , где

,

Таким образом, при имеем

.

При получаем ряд Эйлера . J

J Пример 33.4. 1) Разложить в ряд Фурье периодическую с периодом функцию , заданную на интервале .

Графиком функции на интервале является отрезок, соединяющий точки и . На рис. 33.1 изображён график функции , где – сумма ряда Фурье функции . Эта сумма является периодической функцией с периодом и совпадает с на интервале .

Вычисляем коэффициенты Фурье:

,

,

.

Искомое разложение:

.

Рис. 33.1.	Рис. 33.2.

2) Разложить в ряд Фурье периодическую с периодом функцию , заданную на промежутке .

График функции – дуга параболы, заключённая между точками и . Рассматриваемая функция чётная. На рис. 33.2 построен график функции .

Так как , то:

,

,

в силу чётности функции.

Искомое разложение:

. J

[1] Фурье Жан Батист Жозеф (1768-1830) – французский математик и физик.

[2] Дирихле Петер Густав Лежен (1805-1859) – немецкий математик.

Дата добавления: 2014-01-04