Наибольшее и наименьшее значение функции

Наибольшее и наименьшее значение функции обычно ищется на некотором интервале X, который является или всей областью определения функции или частью области определения. Сам интервал X может быть отрезком , открытым интервалом , бесконечным промежутком .

В этой статье мы будем говорить о нахождении наибольшего и наименьшего значений явно заданной функции одной переменной y = f(x).

Кратко остановимся на основных определениях.

Наибольшим значением функции y = f(x) на промежутке X называют такое значение , что для любого справедливо неравенство

.

Наименьшим значением функции y = f(x) на промежутке X называют такое значение , что для любого справедливо неравенство .

Эти определения интуитивно понятны: наибольшее (наименьшее) значение функции – это самое большое (маленькое) принимаемое значение на рассматриваемом интервале при абсциссе .

Стационарные точки – это значения аргумента, при которых производная функции обращается в ноль.

Алгоритм нахождения наибольшего и наименьшего значения непрерывной функции на отрезке [a; b].

1. Находим область определения функции и проверяем, содержится ли в ней весь отрезок [a; b].

2. Определяем все стационарные точки, попадающие в отрезок [a; b]. Для этого, находим производную функции, приравниваем ее к нулю, решаем полученное уравнение и выбираем подходящие корни.

Если стационарных точек нет или ни одна из них не попадает в отрезок, то переходим к следующему пункту.

3. Вычисляем значения функции в отобранных стационарных точках (если таковые имеются), а также при x = a и x = b.

4. Из полученных значений функции выбираем наибольшее и наименьшее - они и будут искомыми.

Разберем алгоритм на примерах.

Пример.

Найти наибольшее и наименьшее значение функции

• на отрезке [1; 4]

• на отрезке [-4; -1]

Дата добавления: 2014-01-04