Доведення

Нехай ‑ фундаментальна послідовність лінійних функціоналів. Тоді для кожного ε >0 знайдеться таке N, що < ε, для . Звідси для виходить

,

тобто, для числова послідовність фундаментальна, простір – повний, як наслідок - сходиться.

Покладемо

Перевіримо, що ƒ представляє собою неперервній лінійній функціонал. Лінійність перевіряється безпосередньо:

.

Для доведення неперервності функціонала повернемося до нерівності < εі перейдемо в ньому до границі при , отримаємо

.

Звідси випливає, що функціонал обмежений. Але тоді обмежений, а значить і неперервний також функціонал .

Крім того, звідси слідує, що для ε >0 : для , тобто сходиться до .

Підкреслимо, що ця теорема слушна незалежно від того, чи є початковий простір E повним.

Дата добавления: 2014-01-04