При изменении базисов

Изменение матрицы линейного отображения

Пусть e ={e₁, …,e_n} и e¢ = {e¢₁, …,e¢_n} – два базиса в про­странстве Lⁿ, u ={u₁, …,u_m} и u¢ = {u¢₁, …,u¢_m} – два базиса в пространстве L^m, Т₁ = , Т₂ = - матрицы перехода, и j: Lⁿ ® L^m - линейное отображение. Найдем зависимость между матрицами [ ] = [ j ] и [ ] = [ j ] ¢ линейного отображения j в базисах е, и и е¢, и¢ соответственно.

Если y = j х, то в базисах е, и имеем [ y ] = [ j ][ x ], а в базисах е¢, и¢ соответственно [ y ] ¢ = [ j ] ¢ [ x ] ¢. Но [ x ] = Т₁ [ x ] ¢,

[ y ] =Т₂ [ y ]¢, так что Т₂ [ y ]¢ = [ j ] Т₁ [ x ]¢ и [ y ]¢ =Т₂^-1 [ j ] Т₁ [ x ]¢ = [ j ]¢[ x ]¢. Отсюда [ j ] ¢ = Т₂^-1 [ j ] Т₁ или [ ] = ^-1 [ ]. В частном случае при Lⁿ = L^m, е = и, е ¢ = и ¢ для линейного оператора

j: Lⁿ® L^п получаем [] = [ ] , то есть [ j ] ¢= Т^-1 [ j ] Т,

где [ j ] = [ ], [ j ] ¢= [], Т =.

Лемма. Для линейного оператора j: Lⁿ ® L^п det [ ] не

зависит от базиса.

Доказательство. det= det [ j ] ¢ = det Т^-1det [ j ] det Т=

= det (Т^-1Т)det [ j ] = det Е det [ j ] = det [ j ] = det [ ].

Определение. Определителем detj линейного оператора

j: Lⁿ ® L^п называется det [ ] - определитель матрицы линейного оператора j в произвольном базисе е.

Из леммы следует, что наше определение корректно.

Дата добавления: 2014-01-04