Поле внутри проводящего тела в условиях электростатики

Граничные условия.

Под граничными условиями понимают условия, которым подчиняется поле на границах раздела сред с разными электрическими свойствами.

Можно провести параллель между ролью граничных условий в электрическом поле и ролью начальных условий и законов коммутации при переходных процессах.

При интегрировании уравнения Лапласа (или Пуассона) в решение входят постоянные интегрирования. Их определяют из граничных условий.

В проводящем теле, находящемся в электростатическом поле, вследствие явления индукции происходит разделение зарядов. Отрицательные заряды смещаются на поверхность тела, обращенную в сторону более высокого потенциала, положительные – в противоположную сторону.

Все точки проводящего тела будут иметь одинаковый потенциал. Если между какими-либо точками возникла бы разность потенциалов, то под ее действием возникло бы упорядоченное движение зарядов, что противоречило бы понятию электростатического поля. Следовательно, поверхность тела эквипотенциальна. Вектор напряженности внешнего поля в любой точке поверхности подходит к ней под прямым углом. Внутри проводящего тела напряженность поля равна нулю, т.к. внешнее поле компенсируется полем зарядов, расположившихся на поверхности тела.

Условия на границе раздела проводящего тела и диэлектрика.

На границе «проводящее тело – диэлектрик» при отсутствии тока к проводящему телу выполняются два условия:

1. Отсутствует тангенциальная (касательная к поверхности) составляющая напряженности поля:

Ε_τ=0

2. Вектор электрического смещения в любой точке диэлектрика, непосредственно примыкающей к поверхности проводящего тела в этой точке, численно равен плотности заряда σ на поверхности проводящего тела в этой точке:

D= σ

Докажем первое условие:

Все точки поверхности проводящего тела имеют один и тот же потенциал. Следовательно, между двумя любыми весьма близко расположенными друг к другу точками поверхности приращение потенциала dϕ=0 но dϕ=Ε_τ·dl, следовательно, Ε_τ·dl=0. Так как элемент пути между точками на поверхности не равен нулю, то равно нулю Ε_τ.

Для доказательства второго условия мысленно выделим бесконечно малый параллелепипед (см.рис.) Верхняя грань его параллельна поверхности проводящего тела и расположена в диэлектрике. Нижняя грань находится в проводящем теле. Высоту его возьмем весьма малой. Применим к параллелепипеду теорему Гаусса. В силу малости линейных размеров можно принять, что плотность заряда σ на поверхности dS проводящего тела, попавшей внутрь параллелепипеда одна и та же. Полный заряд внутри рассматриваемого объема равен σdS.

Поток вектора через верхнюю грань объема равен d =DdS. Поток вектора через боковые грани объема ввиду малости последнего и того, что вектор скользит по ним, равен нулю. Через дно объема поток так же отсутствует, так как внутри проводящего тела Е=0 и D=0 (ε_а проводящего тела есть величина конечная). Таким образом, поток вектора из объема равен DdS= σdS, т.е. D=σ.

Условия на границе раздела двух диэлектриков.

На границе раздела двух диэлектриков с различными диэлектрическими проницаемостями выполняются два следующих условия:

1. Равны тангенциальные составляющие напряженности поля:

Ε_τ1 = Ε_τ2

2. Равны нормальные составляющие электрической индукции:

D_1n= D_2n

Первое условие вытекает из того, что в потенциальном поле по любому замкнутому контуру. Второе условие представляет собой следствие теоремы Гаусса.

Для доказательства первого условия выделим плоский замкнутый контур mnpqm (см. рис.) и составим вдоль него циркуляцию вектора напряженности электрического поля. Верхняя сторона контура расположена в диэлектрике с диэлектрической проницаемостью ε₂ , нижняя – с ε₁ . Длину стороны mn, равную длине стороны pq, обозначим dl. Контур возьмем так, что размеры np и qm будут бесконечно малы по сравнению с dl.

Поэтому составляющими интеграла вдоль вертикальных сторон пренебрежем. Составляющая на пути mn равна =, на пути pq равна =. Знак “ – “ появится потому, что элемент длины на пути pq и касательная составляющая вектора направлены в противоположные стороны.

Таким образом, = =0 или =.

Докажем второе условие. Для этого на границе раздела двух сред выделим параллелепипед очень малых размеров (см.рис.). Внутри выделенного объема есть связанные заряды и нет свободных, поэтому =0.

Поток вектора через верхнюю грань площадью dS

_{2 2}= D_{2n 2} ;

через нижнюю грань

=D₁dS_1­cos180·= ‒ D_1ndS

= =

Следовательно,

=‒ D_1ndS+ D_2n =0 или D_1n= D_2n.

При наличии на границе раздела двух сред свободных зарядов с плотностью σ,

=‒ D_1ndS+ D_2n = σ при этом D_2n - D_1n= σ, т.е. нормальная составляющая вектора скачком изменяется на величину плотности свободных зарядов на границе раздела.

На границе раздела двух сред потенциал не претерпевает скачков.

Дата добавления: 2014-01-04