Закони розподілу та основні характеристики випадкових процесів

Відомо, що ймовірнісні властивості випадкової величини можна вивчати за допомогою її функції розподілу : ймовірність того, що випадкова величина прийме значення, яке є меншим від заданого числа . Нагадаємо також, що для дискретної випадкової величини її закон розподілу може бути заданий рядом розподілу, для неперервної випадкової величини – густиною розподілу. Аналогічно ймовірнісні властивості випадкового процесу можна вивчити за допомогою сім’ї його скінченно-вимірних розподілів. Останні отримуються так само, як і розподіл скінченної множини випадкових величин, визначених на одному і тому ж імовірнісному просторі.

Нехай маємо випадковий процес . У кожному перерізі розподіл ймовірностей випадкового процесу задається одновимірною функцією розподілу:

. (3)

Якщо випадкова величина дискретна, то одновимірний закон розподілу випадкового процесу описується рядом розподілу

(4)

де – значення випадкової величини . Якщо випадкова величина неперервна, то цей закон можна задати за допомогою одновимірної густини розподілу , для якої при будь-яких та виконується рівність

Очевидно, в точках неперервності маємо

.

Неважко зрозуміти, що функція не дає повної, вичерпної імовірнісної характеристики випадкового процесу, оскільки вона не враховує залежності випадкових величин при різних (тобто залежності різних перерізів випадкового процесу). Більш повно ймовірнісні властивості описує -вимірна функція розподілу – функція розподілу випадкового вектора для перерізів випадкового процесу:

.

Однак практичне застосування знаходять лише функція та функція розподілу другого порядку

(5)

Очевидно, скінченновимірні розподіли випадкового процесу підпорядковуються певним правилам узгодження. Наприклад, якщо , то ці умови виглядають так:

, (6)

, (7)

, (8)

Якщо випадкова величина неперервна і – густина розподілу функції розподілу , то

, (9)

. (10)

Звідси, зокрема, випливають формули

, (11)

, (12)

які можна розглядати як еквіваленти умов узгодження (7), (8).

До важливих характеристик випадкового процесу належать поняття його математичного сподівання, дисперсії, а також кореляційної функції або коваріації, які є природними узагальненнями аналогічних понять, що були введені для випадкових величин.

Означення. Математичним сподіванням випадкового процесу називається невипадкова функція , яка для кожного фіксованого значення визначається як математичне сподівання відповідного перерізу випадкового процесу, тобто

. (13)

З даного означення випливає, що у випадку, коли переріз випадкового процесу при заданому є дискретною випадковою величиною з рядом розподілу

то його математичне сподівання можна обчислити за формулою

. (15)

Якщо переріз випадкового процесу при заданому є неперервною випадковою величиною з густиною розподілу , то його математичне сподівання може бути обчислене за формулою

. (16)

Функція представляє деяку невипадкову «середню функцію», навколо якої групуються реалізації випадкового процесу.

Означення. Дисперсією випадкового процесу називається невипадкова функція , яка для кожного фіксованого значення визначається як дисперсія відповідного перерізу випадкового процесу, тобто

(17)

або

. (18)

У випадку, коли переріз випадкового процесу при заданому є дискретною випадковою величиною з рядом розподілу (14), то його дисперсія обчислюється за формулою

(19)

або

. (20)

Якщо переріз випадкового процесу при заданному є неперервною випадковою величиною з густиною розподілу , то його дисперсія обчислюється за формулою:

(21)

або

. (22)

Функція представляє невипадкову невід’ємну функцію, яка характеризує ступінь розсіювання реалізацій випадкового процесу навколо його математичного сподівання.

Означення. Середнім квадратичним відхиленням випадкового процесу називається арифметичне значення кореня квадратного з дисперсії :

. (23)

Розмірність функції збігається з розмірністю випадкового процесу .

Слід відзначити, що введені нами характеристики випадкового процесу , а саме: математичне сподівання , дисперсія та середнє квадратичне відхилення визначаються тільки одновимірним законом розподілу. Якщо відома двовимірна функція розподілу випадкового процесу, то завжди для будь-яких двох перерізів випадкового процесу можна знайти їх коваріацію, яку в цьому випадку частіше називають кореляційною функцією.

Означення. Кореляційною функцією випадкового процесу називається невипадкова функція двох аргументів і , яка при будь-яких значеннях і дорівнює кореляційному моменту відповідних перерізів випадкового процесу:

(24)

або

. (25)

Якщо, наприклад, для двох перерізів і випадкового процесу відома їх сумісна густина розподілу , то формули (24), (25) набудуть вигляду:

(26)

або

. (27)

Кореляційна функція характеризує залежність між випадковими величинами і – перерізами випадкового процесу при і . Чим слабший зв’язок між випадковими величинами і , тим менше значення кореляційної функції . Але чим слабший цей зв’язок, тим швидше змінюються значення, які приймає випадковий процес.

Теорія, яка вивчає випадкові процеси на підставі аналізу перших двох моментів випадкового процесу, до яких належать математичне сподівання, дисперсія та кореляційна функція називається кореляційною теорією.

Відзначимо основні властивості кореляційної функції випадкового процесу .

1. За умови рівності аргументів кореляційна функція випадкового процесу дорівнює його дисперсії. Справді,

.

2. Кореляційна функція симетрична відносно своїх аргументів, тобто .

Ця властивість безпосередньо випливає з означення кореляційної функції.

3. Якщо до випадкового процесу додати невипадкову функцію , то кореляційна функція не зміниться.

Обґрунтуємо це твердження. Нехай випадковий процес дорівнює

; .

Віднімаючи від , одержимо

.

Отже,

.

4. Кореляційна функція випадкового процесу є невід’ємно визначеною, тобто для будь-якого натурального , будь-яких з множини та будь-яких дійсних чисел виконується нерівність

. (28)

Дана властивість є простим наслідком рівності (24) та відомих властивостей математичного сподівання:

.

Замість кореляційної функції може розглядатися безрозмірна нормована кореляційна функція.

Означення. Нормованою кореляційною функцією випадкового процессу називається функція

, (29)

тобто коефіцієнт кореляції перерізів і .

Наступні властивості нормованої кореляційної функції є простими наслідками властивостей функції та коефіцієнта кореляції: 1) ; 2) ; 3) .

Розглянемо систему з випадкових процесів

. (30)

Кожна з функцій цієї системи характеризується математичним сподіванням і кореляційною функцією. Однак необхідно ще ввести характеристику зв’язку між окремими випадковими величинами системи (30). Такою характеристикою є взаємна кореляційна функція будь-яких двох випадкових процесів та , що належать системі (30).

Означення. Взаємною кореляційною функцією випадкових процесів та називається функція

, (31)

де ; , ,

Для того, щоб відрізняти взаємну кореляційну функцію від кореляційної функції останню називають також автокореляційною функцією.

Означення. Два випадкових процеси та називають некорельованими, якщо їх взаємна кореляційна функція тотожно дорівнює нулю, тобто

. (32)

У ряді випадків зручно ввести безрозмірну характеристику зв’язку між випадковими процесами – нормовану взаємну кореляційну функцію

, (33)

де

,

.

Властивості функції легко описати, виходячи з властивостей автокореляційної функції.

Існують випадкові процеси, властивості яких залишаються інваріантними (незмінними) при будь-яких переміщеннях вздовж осі часу. Такі процеси називаються стаціонарними. Розрізняють два види стаціонарності: у вузькому розумінні та широкому розумінні.

Означення. Випадковий процес називається стаціонарним у вузькому розумінні, якщо для будь-якого натурального і для будь-яких , -вимірна функція розподілу процесу задовольняє умову

. (34)

Умова (34) при приймає вигляд

.

Покладаючи , маємо

(35)

тобто всі (для будь-яких ) одновимірні розподіли є такі самі, як і розподіл в момент часу . Це означає, що одновимірні розподіли є незалежними від часу .

Умова (35) при має вигляд

Покладаючи , маємо

, (36)

тобто всі двовимірні розподіли (для будь-яких ) є такі самі, як і двовимірний розподіл в моменти часу . Отже, двовимірний розподіл при значеннях аргументів залежить лише від і не залежить від .

Що означає стаціонарність у вузькому розумінні з практичної точки зору? Для прикладу уявимо собі часовий ряд, який характеризує процес випуску продукції. Тут стаціонарність у вузькому розумінні означає, що систематичним змінам не підлягають ані умови виготовлення продукції, ані сировина та напівфабрикати, які постачаються ззовні, ані будь-які інші фактори, існує можливість появи тільки деяких випадкових змін, і то лише таких, що їх розподіли не змінюються при будь-яких переміщеннях вздовж часової осі. З іншого боку, такі процеси, наприклад, як температура, ціна іноземної валюти, які спостерігаються протягом деякого періоду часу є, очевидно, нестаціонарними випадковими процесами.

Припустимо тепер, що – стаціонарний у вузькому розумінні процес і . Зауважимо, що остання умова забезпечує існування для випадкового процесу моментів першого та другого порядків. Тоді з (35) випливає, що

, (37)

а з (36) випливає, що

. (38)

Як бачимо, момент першого порядку, визначений рівністю (37), не залежить від . Його можна позначити просто . Момент другого порядку залежить лише від . Його можна назвати автоковаріацією порядку (кореляційною функцією) і позначити . Крім цього, позначимо , .

Отже, характеристики першого та другого порядків випадкового стаціонарного процессу є такі: середнє значення , дисперсія , «корелограма», яка збігається з коефіцієнтом автокореляції .

Неважко встановити, що .

Особливо простий вигляд має корелограма так званого «чисто випадкового процессу», який за означенням утворюється послідовністю незалежних випадкових величин з одним і тим самим розподілом . Скінченновимірні розподіли цього процесу виражаються формулою

. (39)

Зрозуміло, що цей процес стаціонарний, і для нього всі коефіцієнти автокореляції дорівнюють нулю (крім ).

Процеси, в яких всі , крім , дорівнюють нулю, називаються «процесами без кореляції».

Ми вже відзначали, що в кореляційній теорії розглядаються моменти випадкових процесів тільки першого та другого порядків. Для властивостей, що залежать лише від характеристик першого та другого порядків, вимога стаціонарності, визначена умовою (34), є занадто жорсткою. Тому природно ввести ще одне означення стаціонарного випадкового процесу.

Означення. Випадковий процес , для якого виконані співвідношення (37), (38), називається стаціонарним процесом в широкому розумінні.

Надалі під стаціонарними випадковими процесами будемо розуміти випадкові процеси, стаціонарні в широкому розумінні.

Означення. Два стаціонарні випадкові процеси та називаються стаціонарно зв’язаними, якщо їх взаємна кореляційна функція залежить тільки від різниці аргументів, тобто

(40)

Дата добавления: 2014-01-04