Числовые характеристики случайных величин

Решение.

Доказательство.

Доказательство.

Из соотношения (5.3) и формулы Ньютона - Лейбница следует

,

что и требовалось доказать.

Теорема 5.3. Еслизадана интегральная функция F(x), а дифференциальная функция f(x) определена всюду, за исключением конечного числа точек, то

.

По определению

F(x)=P(X < x) = P(-¥< X<x),

тогда, считая в формуле (5.6) a = -¥, b = x, получим:

,

или. (5.7)

P(a < X<b)

f(x)

a b

Рис.4

f(x)

F(x)))

Рис.5

Дифференциальная функция обладает очевидными свойствами:

1. f(x)³ 0, так как функция F(x) - неубывающая;

2., так как.

Рассмотрим некоторые примеры решения задач с использованием функций распределения.

Пример 1. Вероятность выхода за границы допуска при изготовлении деталей равна 0,25. Для контроля стабильности производства через равные промежутки времени отбирают 5 деталей. Найти вероятность того, в выборке окажется меньше 2-х деталей, размеры которых выходят за границы допуска. Построить функцию распределения числа бракованных деталей, построить многоугольник распределения.

Решение. Обозначим X - число бракованных деталей.

Возможные значения случайной величины X:

x₁ = 0, x₂ = 1, x₃ = 2, x₄ = 3, x₅ = 4, x₆ = 5,

Вероятности того, что случайная величина принимает значения x_i, вычисляются по формуле Бернулли:

,

где p=0,25; q=0,75. Закон распределения дискретной случайной величины X представляет собой таблицу:

X
P(X=xi)	0,2373	0,3955	0,2637	0,0389	0,0146	0,0010

Построим многоугольник распределения.

0,5

0,25

0 1 2 3 4 5 6 x

Рис.6. Многоугольник распределения.

Функция распределения строится по описанному выше алгоритму.

В интервале -¥ < x £ 0: F(x)=P(X<0)=0;

0 < x £ 1: F(x)=P(X<1)= P(X=0)=0,2373;

1 < x £ 2: F(x)=P(X<2)= P(X=0)+ P(X=1)=0,6328;

2 < x £ 3: F(x)=P(X<3)= P(X=0)+ P(X=1)+ P(X=2)=0,8965;

3 < x £4: F(x)=P(X<4)= P(X=0)+ P(X=1)+ P(X=2)+ P(X=3)=0,9844;

4 < x £ 5: F(x)=P(X<5)= P(X=0)+ P(X=1)+ P(X=2)+ P(X=3)+ P(X=4)=0,9990;

5 < x £¥: F(x)= 1.

F(x)

1

0,5

0,25

0 1 2 3 4 5 6 x

Рис.7. Функция распределения.

Пример 2. Непрерывная случайная величина задана дифференциальной функцией:

Найти параметр a, интегральную функцию F(x), построить графики функций, найти вероятность P(0<X<p/2).

Параметр найдем, используя 2-е свойство дифференциальной функции:

, то есть, откуда a=1/2.

Построим интегральную функцию, применив формулу (5.7):

.

При x<0,

при 0<x<p,

при x>p.

Таким образом, интегральная функция задается формулами:

Графики имеют вид:

f(x) F(x)

0 p/2 p 0 p/2 p

Вычислим вероятность попадания в интервал:

Числовые характеристики в количественной форме дают достаточную информацию о случайной величине.

Математическое ожидание характеризует положение сл. величины X на числовой оси, определяет центр распределения - некоторое среднее значение, около которого сосредоточиваются все возможные значения сл. величины.

Для дискретной сл. величины мат. ожидание определяется формулой

(6.1)

Если n=¥, то, (6.2)

при этом ряд должен сходиться абсолютно.

Для непрерывной сл. величины

. (6.3)

Вычислим мат. ожидание для дискретной сл. величины, описанной в примере 1:

M[X] = 0∙0,2373 + 1∙0,3955 + 2∙0,2637 + 3∙0,0879 + 4∙0,0146 +5∙0,0010 = 1,25.

Свойства мат. ожидания:

1. M[X] =с, если X=c.

2. M[cX] =с M[X].

3. M[X+Y] = M[X]+ M[Y].

4. M[XY] = M[X]∙ M[Y], если X,Y- независимые сл. величины,

5. M[X – M(x)] = 0.

Дисперсия - мера рассеяния случайной величины. По определению дисперсия равна

. (6.4)

Для дискретной сл. величины

. (6.5)

Для непрерывной сл. величины

. (6.6)

Для оценки рассеяния непрерывной сл. величины используется также среднее квадратичное отклонение:

.

Свойства дисперсии:

1. D[X] = 0, если X = c.

2. D[сX] = с² D[X].

3. D[X+Y] = D[X] + D[Y].

4. D[X - Y] = D[X] + D[Y].

5. D[X] = M(x²) – [M(x)]².

6. D[XY] = D[X] ∙ D[Y] + [M(x)]²D[Y] + [M(y)]²D[X].

Для случайной величины, описанной в примере 1:

D[X] = (0-1,25)²∙0,2373 + (1-1,25)²∙0,3955 + (2-1,25)²∙0,2637 +

+ (3-1,25)²∙0,0879 + (4-1,25)²∙0,0146 +(5-1,25)²∙0,0010 ≈ 0,938.

Дата добавления: 2014-01-04