Интерполяция по чебышевским узлам

Вернемся к изучавшейся в предыдущих параграфах задаче интерполяции.

Сравнивая конечноразностные интерполяционные многочлены, построенные по системе равноотстоящих узлов, с интерполяционным многочленом Лагранжа, предполагающим произвольное расположение несовпадающих узлов на промежутке интерполирования [ а, b ], следует отметить, что первые более просты и удобны в использовании, вторые же обладают большими возможностями. Нет сомнений в том, что если можно располагать узлы в пределах отрезка [ а, b ] как угодно, то имеет смысл использовать большее количество точечной информации о функции там, где она более сильно изменяется. Особенно существенным это замечание может оказаться при эрмитовой интерполяции.

Подойдем к проблеме расположения узлов интерполяции с несколько иной стороны.

Желая, чтобы интерполяционный многочлен Лагранжа L_n (x) (16.6) в целом хорошо приближал функцию f (x) на отрезке [ а, b ], поставим вопрос: как расположить на нем n + 1 узлов интерполяции x_i (i = 0,l,..., n), чтобы при этом минимизировать максимальную на [ а, b ] погрешность?

Преобразуя формулу (16.8), можно показать, что максимальная погрешность интерполирования достаточно гладкой функции на отрезке [-1, 1] многочленом п–й степени будет минимальной, когда в качестве узлов интерполяции t ₀, t ₁ ,..., …, t_n Î [-1, 1] берутся корни многочлена Чебышева T_{n +1}(t). Будем называть их чебышевскими узлами интерполяции.

Если в качестве узлов интерполирования функции f (x) взять точки

где t_i - корни многочлена Чебышева T_{n +1}(t), то можно получить следующую оценку

(18.3)

Найденная оценка (18.3) называется наилучшей равномерной оценкой погрешности интерполяции.

Можно показать ее неулучшаемость, т.е. что существуют такие функции f (x), для которых нестрогое неравенство (18.3) реализуется в виде равенства.

Дата добавления: 2014-01-04