Представление вектора в произвольном базисе

Разложение вектора по базису

Пусть система векторов является базисом, а вектор - их линейная комбинация. Имеет место следующая теорема.

Теорема. Разложение любого вектора в базисе, если оно существует, является единственным.

Доказательство. Предположим, что вектор может быть представлен в виде линейной комбинации векторов двумя способами:

и

где наборы чисел и , среди которых обязательно есть ненулевые значения, не совпадают. Вычитая одно равенство из другого имеем

.

Мы получили, что линейная комбинация векторов системы , в которой не все коэффициенты равны нулю (в силу несовпадения и ) равна нулю, т.е. данная система оказалась линейно зависимой, что противоречит условию теоремы. Полученное противоречие доказывает теорему.

В произвольном базисе пространства

(21)

любой вектор этого пространства обязательно представим в виде разложения по базисным векторам

, (22)

причем это разложение является единственным для данного базиса. В наборе коэффициентов разложения

(23)

числа называются координатами вектора в базисе (21), и, как следует из сказанного, этот набор единственный для любого вектора в данном базисе.

Для нахождения коэффициентов разложения в случае произвольного базиса (21) необходимо приравнять соответствующие координаты линейной комбинации векторов слева и координаты вектора .

Пусть базисные векторы и вектор заданы в следующей координатной форме:

,

,

,

.

Выполнение описанной процедуры приводит к системе линейных уравнений относительно неизвестных координат разложения вектора в базисе (21):

Дата добавления: 2014-01-05