Цилиндрические координаты в трехмерном пространстве

Для определения положения точки в трехмерном пространстве кроме декартовых и аффинных систем координат также используют цилиндрическую систему координат.

Пусть в фиксированной плоскости π определена полярная система координат с полюсом О и полярной осью Оr, а через точку О проведена ось с началом в точке О, направляющим вектором и перпендикулярная плоскости π (рис. 3.13.1).

Пусть М — любая точка пространства, N — ее ортогональная проекция на плоскость π, (ρ, φ) — полярные координаты точки N на плоскости π, причем ρ Î [0, ¥), φ Î [0, 2 π), Mz — проекция точки М на ось параллельно плоскости π. Пусть , –¥ < z < +¥.

Упорядоченная тройка чисел (ρ, φ, z), взятая именно в таком порядке, называется цилиндрическими координатами точки М, при этом используется обозначение М (ρ, φ, z).

Между точками трехмерного пространства и упорядоченными тройками чисел (ρ, φ, z), где ρ Î [0, ¥), φ Î [0,2 π), z Î (–¥,+¥), цилиндрическая система координат устанавливает взаимно однозначное соответствие.

Установим зависимость между цилиндрическими и декартовыми координатами. Пусть цилиндрическая и декартовая системы координат связаны следующим образом: они имеют общее начало в точке О, общую ось с базисным вектором , базисный вектор совпадает с масштабным вектором полярной оси, ось O выбрана так, чтобы базисные векторы , , образовывали правую тройку. Тогда цилиндрические координаты (ρ, φ, z) и декартовые координаты (x, y, z) одной и той же точки М трехмерного пространства связаны соотношениями x = ρ cos φ, y = ρ sin φ, z = z.

Отметим, что наименование “цилиндрические координаты” связано с тем, что координатная поверхность ρ = const является цилиндром с образующими, параллельными оси .

Дата добавления: 2014-01-05