Совместные, определенные, равносильные системы линейных уравнений

Рассмотрим систему из m линейных уравнений с n неизвестными:

(4.1.1)

Числа называются коэффициентами системы, а числа — ее свободными членами.

Пусть , , .

В матричной записи система (4.1.1) имеет вид

, (4.1.2)

где матрица A называется матрицей системы, а столбец b — столбцом свободных членов.

Определение 4.1.1. Решением системы (4.1.1) называются упорядоченный набор чисел , после подстановки которых в систему каждое ее уравнение обращается в тождество.

Определение 4.1.2. Система (4.1.1), имеющая хотя бы одно решение, называется совместной, а при отсутствии у нее решений ¾ несовместной.

Определение 4.1.3. Система (4.1.1), имеющая единственное решение, называется определенной.

Определение 4.1.4. Система (4.1.1), в которой , называется однородной, а если среди чисел имеются отличные от нуля — неоднородной.

Определение 4.1.4. Две системы линейных уравнений называются равносильными, если любое решение первой из них является решением второй и, наоборот, любое решение второй системы является решением первой.

Определение 4.1.5. Линейной комбинацией уравнений системы (4.1.1) называется уравнение

. (4.1.3)

Очевидно, что решение системы (4.1.1) одновременно является решением (4.1.3).

Определение 4.1.6. Две системы линейных уравнений называются линейно эквивалентными, если каждое уравнение первой из них является линейной комбинацией уравнений второй системы и, наоборот, любое уравнение второй — линейная комбинация первой системы.

Ясно, что линейно эквивалентные системы являются равносильными. Действительно, рассмотрим, например, две линейно эквивалентные системы и , где , причем , . Пусть решение системы (4.1.1), т. е. , . У системы все уравнения кроме s- го совпадают с соответствующими уравнениями системы (4.1.1). Поэтому проверим, что обращает в тождество s- е уравнение, получаем

.

Определение 4.1.7. Элементарным преобразованием системы линейных уравнений называется умножение уравнения системы на число, перестановка местами уравнений системы, прибавление к одному уравнению системы другого уравнения, предварительно умноженному на некоторое число.

Таким образом, элементарные преобразования системы приводят к линейно эквивалентной системе линейных уравнений.

Дата добавления: 2014-01-05