Понятие алгебраической системы

Определение 3.1.1. Пусть X – непустое множество. Бинарной алгебраической операцией на множестве X называется всякое правило f, по которому каждой упорядоченной паре (x, y) элементов x, y Î X ставится в соответствие один вполне определенный элемент z из X. Таким образом, функция f: X ² ® X, .

Аналогично можно определить n -арную алгебраическую операцию для " n Î N. В дальнейшем будем рассматривать только бинарные алгебраические операции. Обычно для обозначения операций используются знаки *, ´, ·, , + и т.п. Воспользуемся первым из обозначений, тогда в определении 3.1.1 z = .

Определение 3.1.2. Если на множестве X задана одна или несколько алгебраических операций, то говорят, что X есть алгебраическая система с данными операциями.

Пример 3.1.1. (N, +), (Z, +, ×), (Q, +, ×), (R, +, ×), (Z / n Z, +, ×), " n Î N, – алгебраические системы с бинарными операциями сложения и умножения. ·

Алгебраические системы различают по количеству и свойствам операций.

Определение 3.1.3. Алгебраическая система (X, *) на множестве X с одной алгебраической операцией * называется группоидом. Если у группоида (X, *) операция * ассоциативна: a * (b * c) = (a * b) * c для любых a, b, c Î X, то такую алгебраическую систему называют полугруппой. Моноидом (X, *) называют полугруппу с единицей или нейтральным элементом, то есть таким элементом e Î X, что e * x = x * e = x для каждого x Î X.

Из определения нейтрального элемента следует его единственность в моноиде: если e ₁ и e ₂ – нейтральные элементы, то

Дата добавления: 2014-01-05