Свойства отношения параллельности

Теорема 12.

Через любую точку пространства проходит единственная прямая (плоскость), параллельная данной прямой (плоскости).

Докажем для прямой. Пусть даны точка А и прямая . По определению прямая параллельна s, так как у них общее направляющее подпространство с базисом . Допустим, что прямая проходит через точку А параллельно прямой s. Тогда по определению 7 . Заменим начальную точку и базис: . Теорема доказана.

Теорема 13.

Параллельные прямые (плоскости) или не имеют общих точек, или совпадают.

Докажите самостоятельно.

Теорема 14.

Параллельные прямая и плоскость или не имеют общих точек, или прямая лежит в плоскости.

Докажите самостоятельно.

Теорема 15.

Через любые две различные параллельные прямые проходит единственная плоскость.

Дано: .

Доказать: 1) существует плоскость s: ; 2) плоскость s – единственная.

Доказательство. 1) Существование. По условию , тогда (Объясните, почему). Плоскость , где , – искомая, т.е. проходит через s ₁ и s ₂ (рис. 4.13).

Пусть М Î s ₁, тогда и М Î s, s ₁Ì s: Пусть N Î s ₂, тогда по определению прямой. Так как , то . По аксиоме Т 3 , т.е. N Î s, s ₂Ì s:

2) Единственность. Пусть плоскость проходит через s ₁ и s ₂. Заменим начальную точку . Так как s ₁Ì s, то ; так как s ₂Ì s, то , причем . В противном случае и В Î s ₁, что противоречит условию. Заменяя базис плоскости s ₁, получим , т.е. плоскость s единственна.

Теорема доказана.

Дата добавления: 2014-01-05