Взаимное расположение двух прямых

Пусть даны две прямые .

Определение 8.

Две прямые называются пересекающимися (рис. 4.14), если они имеют единственную общую точку ().

Определение 9.

Две прямые называются скрещивающимися (рис. 4.15), если они не пересекаются и не параллельны (s ₁ s ₂).

Теорема 16.

Если две непараллельные прямые имеют общую точку, то она единственная.

Теорема 17.

Две прямые скрещиваются тогда и только тогда, когда векторы линейно независимы.

Доказательство.

1) Пусть s ₁ s ₂. Так как s ₁ s ₂, то векторы и неколлинеарны, т.е. линейно независимы. Допустим, что три вектора линейно зависимы, тогда (объясните, почему?).

Рассмотрим точку М ₀ такую, что (рис. 4.16).

По аксиоме Т₃ , т.е. , и М ₀Î s ₂, . Получим противоречие. Доказали, что векторы линейно независимы.

2) Пусть векторы линейно независимы. Докажем, что прямые Пусть s ₁ и s ₂ скрещиваются. Векторы и также линейно независимы, отсюда s ₁ s ₂. Допустим, что прямые пересекаются в точке М ₀, тогда , . По аксиоме Т₃ , т.е. линейно зависимы, что противоречит условию.

Теорема доказана.

Следствие.

Не существует плоскости, проходящей через две данные скрещивающиеся прямые (докажите самостоятельно).

Все полученные результаты сведем в таблицу.

Дата добавления: 2014-01-05