Постановка задачи оптимизации

Стремление к оптимизации является естественным состоянием человека. Каждое принимаемое им решение – это желание (не всегда осознанное) получить оптимальный результат. Человек занимается оптимизацией, чтобы экономить свои ограниченные запасы энергии, ресурсов, времени, минимизировать продолжительность работы или максимизировать ее результат.

Задача оптимизации предусматривает метод оптимизации (оптимизационный алгоритм), который базируется в основном на методах математического программирования, а также наличие ограничений, представляют собой зависимости между переменными, и граничных условий, показывающих предельно допустимые значения искомых переменных. Значения переменных, удовлетворяющие граничным условиям и ограничениям, входят в область возможных решений и являются допустимым решением задачи.

При постановке оптимизационной задачи необходимо четко представлять себе цель оптимизации, поскольку оптимальное решение – не идеальное, а только, в определенном смысле, лучшее из возможных. Цель оптимизации отражается в критериях оптимизации.

Критерий оптимизации – это условие выбора одного решения из многих. Он может оценивать качества как желательные (прибыль, производительность, надежность), так и нежелательные (расход инструмента, простои оборудования). Оптимальным будет такой процесс из области допустимых вариантов, который наилучшим образом обеспечивает заданный критерий оптимизации.

Процесс, оптимальный по одному критерию, может быть далек от оптимального по какому-либо другому (например, максимум производительности в любом случае не соответствуем минимуму себестоимости). Поэтому к выбору критерия оптимизации следует подходить очень ответственно, четко представляя себе, в чем должна заключаться оптимальность принимаемого решения.

Математически критерий оптимизации выражается как функция от оптимизируемых параметров, называемая обычно целевой функцией, или функцией цели.

Таким образом, математическая модель задачи оптимизации включает три основные части: целевую функцию, ограничения и граничные условия. (ограничения и граничные условия составляют систему ограничений).

Каждый объект проектирования характеризуется структурой и параметрами, следовательно, можно сказать, что при технологическом проектировании решаются задачи структурной и параметрической оптимизации.

Структурная оптимизация – это выбор оптимальной структуры проектируемого объекта, например, технологического процесса. Параметрическая оптимизация заключается в расчете оптимальных технологических параметров этого объекта (допусков на межоперационные размеры, припусков, режимов резания).

В общем виде целевая функция при параметрической оптимизации имеет вид:

,

где х₁, х₂, …, х_n – оптимизируемые параметры.

Система ограничений в общем виде может быть записана:

,

где n – число оптимизируемых параметров;

k – номер ограничения;

C_K – постоянная часть ограничения, не зависящая от параметров;

m – число ограничений.

Таким образом, решение задачи параметрической оптимизации заключается в нахождении n параметров, которые удовлетворяют m ограничениям (уравнениям или неравенствам) и максимизируют или минимизируют целевую функцию. При этом все параметры являются упорядочиваемыми, то есть для них существует понятие «больше-меньше».

В случае структурной оптимизации также имеется система ограничений и целевая функция , при этом хÎМХ, где МХ – множество допустимых вариантов решений, удовлетворяющих системе ограничений. Понятие «больше-меньше» здесь неприменимо, то есть параметры неупорядочиваемые. Область возможных значений здесь задается не аналитически, а алгоритмически: с помощью различных правил, инструкций, указаний, носящих неформальный характер. Поэтому простейшим методом нахождения оптимального варианта является прямой (последовательный) перебор всех возможных вариантов, каждый из которых оценивается по принятому критерию оптимизации.

Поскольку при проектировании объекта реализуется блочно-иерархический принцип, то и структурная оптимизация выполняется по уровням. На каждом уровне используются локальные критерии оптимизации.

В результате проектирования образуется граф допустимых вариантов решений, отвечающих заданным ограничениям.

Дата добавления: 2014-01-05