Формула Бернулли

Рассмотрим случай многократного повторения одного и того же случайного испытания. Результат каждого испытания будем считать не зависящим от того, какой результат наступил в предыдущих испытаниях. В качестве результатов или элементарных исходов каждого отдельного испытания будем различать лишь две возможности:

1). Появление некоторого события А;

2). Появление противоположного ему события .

Пусть вероятность появления события А в каждом испытании постоянна и равна P(A) = p (0 < p < 1). Тогда вероятность события в каждом испытании будет равна P() = 1 – p = q.

Теорема Вероятность наступления события А ровно k раз при выполнении n независимых испытаний вычисляется по формуле Бернулли:

P_n (k) = C^k_n × p^k × q^n–k. (10)

Пример 12 Из урны, содержащей 2 белых и 6 черных шаров наудачу выбирается с возвращением 5 раз подряд один шар. Подсчитать вероятность того, что 4 раза появится белый шар.

В условиях данной задачи n = 5; p = 1/4; q = 3/4; k = 4.

Искомую вероятность вычисляем по формуле Бернулли:

P ₅ (4) = C⁴₅ ×(1/4) ⁴ ×(3/4) ¹ = 5×(1/4) ⁴ ×(3/4) ¹ = 5×3×(1/4) ⁵ = 15/1024.

По формуле Бернулли можно подсчитать вероятности всех возможных частот k успешных испытаний. А какая из этих вероятностей будет иметь наибольшее значение? Или другими словами: при каком k достигается максимум P(k)?

Теорема 13. В n испытаниях по схеме Бернулли с вероятностью успеха p наиболее вероятным числом успехов является:

a) единственное число k₀ = [ n×p + p ], если число k₀ не целое;

б) два числа k₁ = k₀ и k₂ = k₀ –1, если число k₀ целое.

Видим, что в зависимости от того, является число k₀ = n × p + p целым или нет, имеется либо два равновероятных "наиболее вероятных" числа успехов k₁ = k₀ и k₂ = k₀ – 1, либо одно "наиболее вероятное" число успехов k₀ = [ n × p + p ].

Следствие теоремы Бернули Вероятность того, что первый успех произойдет в испытании с номером k, равна P_k(1) = p q^k–1.

Дата добавления: 2014-01-05