Числовые характеристики случайных величин

Распределение Бернулли (биноминальное распределение) B(n,p)

Так называют распределение случайной величины – числа появлений некоторого случайного события в испытаниях по схеме Бернулли: P_n (k) = C^k_n × p^k × q^n–k.

k	0	1	...	n – 1	n
Pn(k)	q^n	n×p×q^n^–^1	...	n×p^n^–^1×q	p^n

Параметры распределения: n и р характеризуют количество испытаний в одной серии и вероятность появлений некоторого случайного события в единичном испытании.

4. Распределение Пуассона P(λ)

Так называют распределение случайной величины – числа появлений некоторого случайного события в испытаниях по схеме Бернулли, если число испытаний n стремится к бесконечности, а вероятность появлений некоторого случайного события в единичном испытании р стремится к нулю, но так, что их произведение остается постоянным n×p = λ > 0. Формально такой предельный переход приводит к формуле: P(k) = λ^k×e^–λ / k!

k	0	1	...	n – 1	n
P(k)	e^–^λ	λ×e^–^λ	...	λ^n^–1×e^–^λ / (n – 1)!	λ^n×e^–^λ / n!

Параметр распределения λ характеризует наиболее вероятное число появлений случайного события в серии из n испытаний.

Примечание. Распределению Пуассона подчиняются очень многие случайные величины, встречающиеся в науке и практической жизни (число вызовов, поступающих на станцию скорой помощи в течение часа, число молекул идеального газа в некотором фиксированном объеме V).

За рамками нашего рассмотрения остались многие известные распределения, например, такие, как геометрическое распределение, гипергеометрическое распределение, показательное распределение, распределение Стьюдента и многие другие.

Рассмотрев два основных класса распределений – дискретные и непрерывные – возникает естественный вопрос: существуют ли еще какие-либо распределения не входящие в эти два класса? Да, существует так называемые смешанные дискретно-непрерывные распределения, широко используемые в теории надежности приборов и машин.

Математическое ожидание (среднее значение)

Определение Математическим ожиданием называется:

– для дискретной случайной величины: Mx = ∑х_i×p(х_i);

– для непрерывной случайной величины: Mx = ∫^+∞_–∞ x×f(х)×dx.

Примечание. Ряд и интеграл должны быть абсолютно сходящимися (в противном случае говорят, что случайная величина не имеет математического ожидания).

Свойства математического ожидания:

1. Если С – постоянная величина, то МС = С.

2. МСх = СМх

3. Математическое ожидание суммы случайных величин равно сумме их математических ожиданий: М(х + y) = Мх + Мy.

4. Если случайная величина принимает свои значения х_i с различными вероятностями p(x_i | H_j) при разных условиях H_j, то условное математическое ожидание определяется как:

– для дискретной случайной величины: Mx | H_j = ∑х_i×p(х_i | H_j);

– для непрерывной случайной величины: Mx | H_j = ∫^+∞_–∞ x×f(х | H_j)×dx.

Если известны вероятности событий H_j, то может быть найдено полное математическое ожидание: Mx = ∑(Mx | H_j)×p(H_j).

Пример 13 Сколько раз в среднем надо бросать монету до первого выпадения орла?

Эту задачу можно решать "в лоб", построив вариационный ряд:

хi	0	1	2	3	...	k	...	∞
p(хi)	0	1/2	1/4	1/8	...	1/2^k	...	0	∑^∞0 k/2^k

но эту сумму еще надо суметь вычислить. Можно поступить проще, используя понятия условного и полного математического ожидания. Рассмотрим гипотезы Н₁ – орел выпал в первый же раз, Н₂ – в первый раз он не выпал. Очевидно, что р(Н₁) = р(Н₂) = ½; Мx | Н₁ = 1; Мx | Н₂ на 1 больше искомого полного математического ожидания, т.к. после первого бросания монеты ситуация не изменилась, но один раз она уже брошена. Используя формулу полного математического ожидания, имеем:

Мх = (Мx | Н₁)×р(Н₁) + (Мx | Н₂)×р(Н₂) = 1×0,5 + (Мх + 1)×0,5.

разрешая данное уравнение относительно Мх, легко находим, что Мх = 2.

5. Если φ(x) – есть некоторая функция случайной величины х, то ее математическое ожидание вычисляется как:

– для дискретной случайной величины: Mφ(x) = ∑φ(x_i)×p(х_i);

– для непрерывной случайной величины: Mφ(x) = ∫^+∞_–∞ φ(x)×f(х)×dx.

Примечание. Ряд и интеграл должны быть абсолютно сходящимися (в противном случае говорят, что случайная величина не имеет математического ожидания).

Дисперсия случайной величины

Определение Дисперсией случайной величины х называется математическое ожидание квадрата отклонения значения случайной величины от ее математического ожидания:

– для дискретной случайной величины: Dx = ∑(х_i – Mx)²×p(х_i);

– для непрерывной случайной величины: Dx = ∫^+∞_–∞ (х – Mx)²×f(х)×dx.

Примечание. Ряд и интеграл должны быть абсолютно сходящимися (в противном случае говорят, что случайная величина не имеет дисперсии).

Свойства дисперсии:

1. Если С – постоянная величина, то DС = 0.

2. DСх = С²Dх.

3. Дисперсия суммы случайных величин равна сумме их дисперсий только, если эти случайные величины независимы (определение независимых величин).

4. Для вычисления дисперсии удобно использовать формулу: Dx = Mx² – (Mx)².

Мода

Определение Мода Mo – значение случайной величины, которой соответствует локальный максимум плотности распределения (для непрерывных случайных величин) или значение случайной величины, которое наиболее часто повторяется в вариационном ряду (для дискретных случайных величин).

Например: 2, 6, 6, 6, 8, 9, 9, 10; Мо = 6.

Распределение может иметь одну моду (одномодальное), две моды (двухмодальное) или несколько мод (многомодальное).

Мода, как средняя величина, употребляется чаще для данных, имеющих нечисловую природу. Среди перечисленных цветов автомобилей – белый, черный, синий металлик, белый, синий металлик, белый – мода будет равна белому цвету. При экспертной оценке с её помощью определяют наиболее популярные типы продукта, что учитывается при прогнозе продаж или планировании их производства.

Медиана

Медиана Ме – значение случайной величины, которое делит ранжированную совокупность ее значений (вариационный ряд) на две равные части: 50 % "нижних" единиц ряда будут иметь величину не больше, чем медиана, а 50 % "верхних" – не меньше, чем медиана.

Например: 2, 6, 6, 6, 8, 9, 9, 10; Ме = 7.

Предположим, что в одной комнате оказалось 19 бедняков и один миллиардер. Каждый кладет на стол деньги из своего кармана. По пять долларов кладет каждый бедняк, а миллиардер – $1 млрд. В сумме получается $1 000 000 095. Если мы разделим деньги равными долями на 20 человек, то получим $50 000 004,75. Это будет среднее арифметическое значение суммы наличных, которая была у всех 20 человек в этой комнате. Медиана же в этом случае будет равна $5 (полусумма десятого и одиннадцатого, срединных значений ранжированного ряда).

Дата добавления: 2014-01-05